17.Производная сложной функции.

Теорема: если функция y=f(t) имеет производную в точке t₀, функция y=φ(х) имеет производную в точке х₀, φ(х₀)=t₀,то сложная функция y=f(φ(х))= у(х) имеет производную в точке х₀, которая находится по формуле f(φ(х))’=(f(φ(x)))_t’φ’(x), или в более удобных кратких обозначениях y_x’=y_t’*t_x’ dy/dx=dy/dt*dt/dx. Последняя формула проясняет алгебраический смысл теоремы. Для словесной формулировки теоремы переменную t удобно называть внутренней. Тогда правило дифференцирования сложной функции приобретает вид: производная сложной функции по х равна произведению производной по внутренней переменной на производную внутренней переменной по х.

Док-во: дадим х приращение Δх, тогда t получит приращение Δt=φ(x+Δx)-φ(x), а у, в свою очередь, получит приращение Δy=f(t+Δt)-f(t). Имеем тождество Δy/Δx=Δy/Δt*Δt/Δx. Та lim_Δx→0 Δy/Δt* Δt/Δx к как функция, имеющая производную, непрерывна, то Δt→0 Δx→0. Из определения производной и теоремы о пределе произведения получаем y’= lim_Δx→0 Δy/Δx= lim_Δx→0 Δy/Δt* Δ lim_Δx→0 Δt/Δx=y_t’*t_x’. Пример: y=cos²x, y’=2cosx(-sinx)=-sin2x.

18.Обратная функция и её производная. Производные функций y= arcsinx, y=arctgx.

Теорема: пусть функция y=f(х), определенная в некотором интервале, имеет обратную функцию х= f^-1(у). тогда если фун-ия y=f(х) имеет произвольную в точке х₀ и f’(х₀)≠0, то обратная фун-ия имеет производную в точке у₀= f(х₀), которая равна х_у’=1/ у_х’ или dx/dy=1/dy/dx

Док-во: пусть Δх- приращение х, соответствующее приращению Δу. Т.к. фун-ия, имеющая производную, непрерывна, а фун-ия, обратная к непрерывной ,также непрерывна, тоΔх→0 при Δу→0. Из определения производной и теоремы о пределе частного получаем х_у’= lim_Δу→0 Δх/Δу= lim_Δx→0 1/Δy/Δх=1/ у_х’.

Примеры: 1)у=arcsinx -фун-ия, обратная к фун-ии х= sinу. Поэтому y’_x=1/x_y’=1/cosy=1/√1-sin²y=1/√1-x^2.. аналогично получаем, что (arccosx)’=-1/√1+x²; 2)y=arctgx-фун-ия, обратная к фун-ии x=tgу. Поэтому y’_x=1/x_y’=1/1/cos² y=1/1+tg²y=1/1+x². Аналогично получаем, что (arcctgx)’= -1/1+x²)

19.Производная функции y=In x .Логарифмическое дифференцирование и его применение.

Производная функции y = ln x

Найдём приращение функции

.

Воспользовавшись непрерывностью логарифмической функции и вторым замечательным пределом, получим

Для логарифмической функции с произвольным основанием имеем

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.

20.Дифференциал функции: определение и формула для вычисления. Эквивалентность дифференцируемости и существования производной.

Дифференциа́л (от лат. — разность, различие) — линейная часть приращения функции. Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х. Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу можно записать так:dy=ƒ'(х)dх,

Выясним теперь связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной функции в той же точке.

Теорема 1. Для того чтобы функция f была дифференцируемой в некоторой точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную; при этомДоказательство. Необходимость. Пусть функция f дифференцируема в точке x0, т. е.. ТогдаПоэтому производнаясуществует и равна A. ОтсюдаДостаточность. Пусть существует производная, т. е. существует предел.Тогда ,гдеи, следовательно, длясправедливо равенство