1.15. Приведение призвольной системы сил к заданному центру

Теорема. Любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно привести в общем случае к силе и паре сил.

Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру.

Пусть задана произвольная система сил (F₁, …, F_n) (рис. 1.42).

П

Рис. 1.42

оследовательно применяя метод Пуансо к каждой из заданной системы сил, приведем ее к произвольному центру О. В результате этого получим систему сил (F₁, …, F_n), приложенных в центре О, и присоединенную пару сил с моментом M=å M₀(F_i). Складывая силы F₁, …, F_n по правилу параллелограмма, получим их равнодействующую R^*, равную геометрической сумме заданных сил и приложенную в центре приведения.

Геометрическую сумму всех сил системы называют главным вектором системы сил и, в отличие от равнодействующей R, обозначают R^*.

Вектор M=å M₀(F_i) называют главным моментом системы сил относительно центра приведения.

Этот результат можно сформулировать следующим образом: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора R^*, но влияет на модуль и направление главного момента М. Главный вектор R^* является свободным вектором и может быть приложен в любой точке твердого тела.

1.16. Аналитические условия равновесия плоской произвольной системы сил

Плоская произвольная система сил – система сил, линии действия которых произвольно расположены в одной плоскости.

Таким образом, линии действия плоской произвольной системы сил пересекаются в различных точках.

Н

Рис. 1.43

а рис. 1.43 изображена заданная плоская произвольная система сил (F₁, …, F_n), линии действия которых лежат в плоскости ZOY.

Последовательно применяя метод Пуансо для каждой из сил F_i, осуществим параллельный перенос сил из точек A_i в начало О системы отсчета XOYZ. Согласно этому методу, сила F_i будет эквивалентна силе F_i, приложенной в точке О, и присоединенной паре сил с моментом M_i = M₀(F_i). При этом M_i=F_ih_i, где h_i – плечо силы F_i относительно центра приведения О. По окончании этой работы получим сходящуюся систему сил (F_i,…, F_n) и сходящуюся систему векторных моментов M_i=M₀(F_i) присоединенных пар сил, приложенных в центре приведения. Сложив векторы сил, получим главный вектор R*=F_i и главный момент эквивалентной пары сил M=M₀(F_i).

Таким образом, плоская произвольная система сил (F_i,…, F_n) эквивалентна одной силе R* =  F_i и паре сил с моментом M =  M₀(F_i).

При решении задач статики используют проекции силы на координатные оси и алгебраические моменты сил относительно точки.

Н

Рис. 1.44

а рис. 1.44 изображена плоская произвольная система сил, приведенная к главному вектору сил R*=и эквивалентной паре сил с моментом M= M₀(F_i).

В этих формулах  F_iX,  F_iY – суммы проекций сил на координатные оси;  M₀(F_i) – алгебраическая сумма моментов сил относительно точки О.

Геометрическое условие равновесия любой системы сил выражается векторными равенствами: R*= F_i=0; M= M₀(F_i)=0.

Проецируя эти векторные равенства на координатные оси, получим аналитические условия равновесия системы сил. Для плоской произвольной системы сил эти уравнения приобретают следующий вид:

 F_iX=0;  F_iY=0;  M_iA=0.

Совокупность этих формул есть первая (основная) форма уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.

Таким образом, для равновесия плоской произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на две координатные оси и сумма моментов сил относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Существуют и другие формы уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.

Вторая форма выражается совокупностью формул:

 F_iX=0;  M_iA=0;  M_iB=0.

Для равновесия плоской произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на координатную ось и суммы моментов сил относительно произвольных точек А и В равнялись нулю.

Третья форма уравнений равновесия выражается совокупностью формул:

 M_iA=0;  M_iB=0;  M_iC=0.

Для равновесия плоской произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов сил относительно произвольных точек А, В и С равнялись нулю.

При использовании третьей формы уравнений равновесия точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.