2.13. Пример выполнения курсового задания к 1

Исходные данные: X = X(t) = 2cos(πt²/3) – 2; см. (1)

Y = Y(t) = – 2sin(πt²/3)+3; см. (2)

t₁ = 1 c.

По заданным уравнениям движения точки на плоскости определить кинематические характеристики в момент времени t₁.

Решение.

1. Для определения траектории движения точки уравнения (1) и (2) связываются через параметр t. Уравнения (1) и (2) выразим в следующем виде:

X+2 = 2cos(πt²/3); (1¹)

Y – 3 = – 2sin(πt²/3). (2¹)

Возведем в квадрат левые и правые части уравнений (1¹), (2¹) и сложим их.

(X+2)² = (2cos(πt²/3))²; (1¹¹)

+

(Y– 3)² = (– 2sin(πt²/3))²_. (2¹¹)

После сложения уравнений (1¹¹), (2¹¹) получим

(X+2)² + (Y– 3)² = (2cos(πt²/3))²+(– 2sin(πt²/3))² =

= 2²((cos(πt²/3))²+(sin(πt²/3))² = 2²·1 = 2².

При преобразованиях использована тригонометрическая формула sin²(α)+cos²(α) = 1. Полученное уравнение (X+2)² + (Y– 3)² = 2² есть уравнение окружности (x–a)²+(y–b)² = r² c центром в точке с координатами (a, b). Построим график траектории движения (рис. 2.17).

2. Определение положения точки на траектории движения.

В уравнения (1) и (2) подставляем время t₁.

X(t₁) = 2cos(π(t₁)²/3) – 2 = 2cos(π(1)²/3) – 2 =

= 2·0,5 – 2 = 1,000 см <0.

Y(t₁)= – 2sin(π(t₁)²/3)+3= – 2sin(π(1)²/3)+3=

= – 2·0,866+3 =1,270 см >0.

Точку с координатами (–1, 1,270) показываем на траектории движения.

ВНИМАНИЕ!

Если точка не попала на траекторию движения, то:

1) неверно определена траектория движения;

2) неверно подсчитаны координаты точки.

3. Определение скорости точки.

Для определения скорости точки найдем производные по времени от соответствующих уравнений движения точки:

= 2(– sin(πt²/3)(2πt/3)) = (– 4π/3)(sin(πt²/3))t;

= – 2(cos(πt²/3)(2πt/3)) = (– 4π/3)(cos(πt²/3))t.

Вычислим значения проекций , скорости на оси OX и OY в момент времени t₁:

(t₁) = (– 4π/3)(sin(π(t₁)²/3))t₁ =

=(– 4·3,14/3)sin(π·1²/3)1 = – 3,625 см/с < 0;

(t₁) = (– 4π/3)(cos(π(t₁)²/3))t₁ =

=(– 4·3,14/3)cos(π·1²/3)1 = – 2,093 см/с < 0.

Т

Рис. 2.17

ак как (t₁) и (t₁) меньше нуля, то векторы V_X, V_Y направлены в стороны, противоположные векторам i, j. В выбранном масштабе наносим векторы V_X, V_Y на чертеж (рис. 2.17). На векторах V_X, V_Y строим вектор V по правилу параллелограмма. Вектор скорости V направлен по касательной к траектории движения точки.

ВНИМАНИЕ!

Если вектор V направлен не по касательной к траектории движения, то:

1. неверно взяты производные , ;

2. неверно вычислены значения (t₁), (t₁).

Вычисляется модуль скорости V по формуле

= = 4, 186 см/с.

В ряде вариантов можно определить модуль скорости по формуле

= == 4πt/3.

V(t₁) = 4πt₁/3 = 4·3,14·1/3 = 4,186 см/с.

4. Определение ускорения точки.

Находятся производные по времени от проекций , скорости на координатные оси OX, OY.

Так как проекция скорости на ось ОХ представляет собой произведение двух переменных ((– 4π/3)sin(πt²/3) и t), то по правилу дифференцирования произведения получим

(– 8π²/9)cos(πt²/3)t² – (4π/3)sin(πt²/3).

Аналогично

(8π²/9)sin(πt²/3)t² – (4π/3)cos(πt²/3).

Определим и. Произведя расчеты, получим:

= – 8,020 см/с²; = 5,510 см/с².

Так как <0, то векторa_x направлен в сторону, противоположную орту i. Вектор a_y направлен в ту же сторону, что и вектор j, так как >0. На векторахa_x и a_y строим вектор ускорения a. Вектор ускорения a всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

ВНИМАНИЕ!

Если ускорение a направлено не в сторону вогнутости траектории движения, то:

1. неверно взяты производные ,;

2. неверно вычислены значения ,.

Определяется модуль ускорения по формуле

a === 9,730 см/с².

5. Определение касательного и нормального ускорений.

На рис. 2.17 наносим подвижную систему отсчета (ПСО). Разложим полное ускорение a на касательное а_τ и нормальное а_n ускорения. Так как касательное ускорение а_τ совпадает с направлением скорости V, то точка движется ускоренно. Модуль касательного ускорения находится по формуле

| а_τ | = || =

= |((– 3,625)·(– 8,020)+(– 2,099)·(5,510))/4,186| = 4,186 см/с².

Касательное ускорение характеризует быстроту изменения величины скорости, поэтому оно может быть определено по формуле

а_τ =dV/dt=d(4πt/3)/dt =4π/3= 4·3,14/3 = 4,186 см/с² = const > 0.

Так как а_τ = const > 0 и направления а_τ и V совпадают, то точка движется по окружности равноускоренно.

Нормальное ускорение находится по формуле

| а_n | = = = 8,780 см/с².

Из формулы а_n = V²/ρ определяется радиус кривизны траектории движения ρ = V²/ а_n = (4,186)²/8,780 = 2,0 см. Таким образом, радиус кривизны траектории движения равен радиусу окружности, по которому перемещается точка.

Результаты вычислений заносятся в таблицу.

X(t1), см	Y(t1), см	, см/с	, см/с	, см/с^2	, см/с^2
–1,00	1,27	–3,63	–2,09	–8,02	5,51

Окончание таблицы

V, см/с	а, см/с^2	аτ, см/с^2	аn , см/с^2	ρ, см
4,19	9,73	4,20	8,78	2,00