1.26.3. Приведение пространственной произвольной системы сил к заданному центру

Пространственная произвольная система сил – система сил, линии действия которых как угодно произвольно расположены в пространстве.

В качестве примера рассмотрим (рис. 1.68) пространственную систему сил (F₁, F₂, F₃). При этом сила F₁ лежит в плоскости XOZ и параллельна оси ОХ. Сила F₂ лежит в плоскости XOY и параллельна оси OY. Сила F₃ лежит в плоскости YOZ и параллельна оси OZ.

П

Рис. 1.68

оследовательно применяя метод Пуансо к заданной системе сил, приведем ее к началу систему отсчетаXOYZ. Тогда система сил (F₁, F₂, F₃) будет эквивалентна системе сил (F₁, F₂, F₃) и системе присоединенных пар сил (M_o(F₁), M_o(F₂), M_o(F₃)), приложенных в точке О. Так как система векторов приложена в одной точке, то одноименные векторы можно сложить. В результате этих операций получим главный вектор сил R^* = F₁+ F₂ + F₃ и главный момент присоединенных пар сил M^* = M_o(F₁)+ M_o(F₂)+ M_o(F₃).

Рис. 1.68

Таким образом, система сил (F₁, F₂, F₃) заменена одной силой R^* и одной парой сил с моментом M^*. Согласно методу Пуансо главный вектор сил R^* не зависит от положения точки приведения и может быть помещен в любую точку пространства.

Полученный вывод можно распространить на любую произвольную пространственную систему сил.

Модуль и направление главного вектора R^* определяют по формулам:

;

cos(R^*, i) = ∑ F_iX/R^*; cos(R^*, j) = ∑ F_iY/R^*; cos(R^*, k) = ∑ F_iZ/R^*.

Модуль и направление главного момента М^* определяют по следующим формулам:

;

cos(М^*, i) = ∑М_ix/М^*; cos(М^*, j) = ∑М_iY/М^*; cos(М^*, k) = ∑М_iz/М^*.

Момент каждой из сил относительно координатных осей вычисляют по формулам:

M_iX = F_iZ·y_i – F_iY·z_i;

M_iY = F_iX·z_i – F_iZ·x_i;

M_iZ = F_iY·x_i – F_iX·y_i.

1.26.4. Уравнения равновесия пространственной системы сил

Аналитические условия равновесия пространственной произвольной системы сил выражаются совокупностью следующих уравнений:

∑ F_iX = 0; ∑ F_iY = 0; ∑ F_iZ = 0;

∑ M_iX = 0; ∑ M_iY = 0; ∑ M_iZ = 0.

Таким образом, для равновесия пространственной произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на координатные оси и суммы моментов сил, действующих на механическую систему, относительно координатных осей равнялись нулю.

Для пространственной системы сил, линии действия которых параллельны оси OZ, аналитические условия равновесия имеют вид:

∑ F_iZ = 0;

∑ M_iX = 0;

∑ M_iY = 0.

1.26.5. Типы связей в пространстве

Н

Рис. 1.69

а рис. 1.69 изображен шаровый шарнир. Он представляет собой шар, который может вращаться как угодно внутри сферической плоскости. Центр шара остается неподвижной точкой, через которую проходит линия действия реакцииR_A.

Направление реакции R_A заранее неизвестно, поэтому ее раскладывают на составляющие силы X_A, Y_A, Z_A по координатным осям:

R_A = X_A+ Y_A+ Z_A;

Н

Рис. 1.70

а рис. 1.70 изображена механическая система, на которую наложены связи: подпятник в точке А и цилиндрический шарнир в точке В.

Направления реакций в точках А и В заранее неизвестны, поэтому их раскладывают на составляющие по координатным осям.

R_A = X_A+ Y_A+ Z_A; R_B = X_B+ Y_B.

На рис. 1.71 изображена механическая система, на которую наложена связь – жесткая заделка в пространстве.

Э

Рис. 1.71

та связь не позволяет перемещаться телу в пространстве в любом направлении вдоль координатных осей и совершать вращательные движения относительно этих координатных осей. Реакция такой связи состоит из трех силX_A, Y_A, Z_A и трех реактивных моментов M_AX, M_AY, M_AZ.