1.25. Пример выполнения курсового задания с 3

В

Рис. 1.62

качестве примера, иллюстрирующего порядок расчета составной конструкции, рассматривается равновесие механической системы, состоящей из двух тел, соединенных между собой внутренним шарниром в точкеD (рис. 1.62).

Дано: Р₁ = 2 кН; Р₂ = 4 кН; М = 6 кН·м; q = 2 кН/м. Определить реакции внешних связей в точках А, В, С.

Решение.

Распределенная нагрузка интенсивностью q заменяется сосредоточенной силой:

Q = q·L = 2·4 = 8 кН.

К механической системе, состоящей из тел 1 и 2, приложены активные силы P₁, P₂, Q и активный момент М, а также реакции X_A, Y_A, R_B, R_c внешних связей. Так как система сил, действующих на совокупность тел 1 и 2 плоская произвольная, то составляются три уравнения равновесия.

∑ F_iX = 0 = X_A + P₁cos60⁰ – R_Bsin45⁰ + P₂sin45⁰ – R_csin45⁰ = 0; (1)

∑ F_iY= 0 = Y_A – Q –P₁sin60⁰+R_Bcos45⁰–P₂cos45⁰+R_ccos45⁰ = 0; (2)

∑ M_iD = 0 = – Y_A·8 + Q·6 + P₁sin60⁰·2 – R_B·6 + P₂·3 + R_C·6 = 0. (3)

Так как имеются три уравнения равновесия, в которые входят четыре неизвестные реакции X_A, Y_A, R_B, R_C, то такая система уравнений не решается. Поэтому конструкцию расчленяют по внутренней связи в точке D и рассматривают равновесие каждого тела в отдельности.

Н

Рис. 1.63

а рис. 1.63 изображено тело 1, которое находится в покое под действием активных силQ, P₁, реакций внешних связей X_A, Y_A и реакций внутренних связей X_D, Y_D.

Система сил, действующая на тело 1, плоская произвольная, поэтому для нее составляется три уравнения равновесия.

∑ F_iX = 0 = X_A + P₁cos60⁰ + X_D = 0; (4)

∑ F_iY = 0 = Y_A – Q – P₁sin60⁰ + Y_D = 0; (5)

∑ M_iD = 0 = –Y_A·8 + Q·6 + P₁sin60⁰·2 = 0. (6)

На рис. 1.63 реакции X_D, Y_D внутренней связи показывают, как тело 2 действует на тело 1 в точке D.

Рассматривается равновесие тела 2, на которое действуют активная сила Р₂, активный момент М, реакции R_B, R_C внешних связей в точках В и С и реакции X_D¹, Y_D¹ внутренней связи в точке D (рис. 1.64).

Р

Рис. 1.64

еакцииX_D¹, Y_D¹ показывают, как тело 1 действует на тело 2 в точке D. По аксиоме равенства действия и противодействия эти реакции направлены противоположно одноименным реакциям, показанным на рис. 1.63.

X_D = – X_D¹; Y_D = – Y_D¹; X_D = X_D¹; Y_D = Y_D¹.

Т

Рис. 1.64

аким образом, на тело 2 действует плоская произвольная система сил, поэтому составляют три уравнения равновесия. С целью сокращения формы записи уравнений равновесия использована система отсчетаXOY, одна из осей которой направлена вдоль стержня ВС.

∑ F_iX = 0 = – X_Dcos45⁰ – Y_Dcos45⁰ = 0; (7)

∑ F_iY = 0 = R_B – P₂ + X_Dsin45⁰ – Y_Dsin45⁰ + R_c = 0; (8)

∑ M_iD = 0 = – R_B·6 + P₂·3 – M + R_C·6 = 0. (9)

Таким образом, по рис. 1.62, 1.63, 1.64 составлено девять уравнений равновесия, в которые вошли шесть неизвестных реакций. С целью сокращения времени расчета целесообразно использовать уравнения равновесия, составленные для тел 1 и 2 механической системы.

Из уравнения (6) определяется реакция Y_A:

Y_A = (Q·6 + P₁sin60⁰·2)/8 = (8·6 + 2·0,866·2)/8 = 6,433 кН.

Из уравнения (5) имеем

Y_D = –Y_A + Q + P₁sin60⁰ = – 6, 433+8+2·0,866 = 3,299 кН.

Из уравнения (7) определяется реакция X_D внутренней связи в точке D:

X_D = X_D¹ = – Y_D = – 3,299 кН.

Из уравнения (4) определяется реакция X_A:

X_A = – P₁cos60⁰–X_D = – 2·0,5 – (–3,299) = – 2,299 кН.

С учетом уравнения (7) уравнения (8) и (9) несложно преобразовать в систему уравнений (8¹), (9¹):

R_B – P₂ + 2X_Dcos45⁰ + R_C = 0; (8¹)

– R_B + P₂(3/6) – (M/6) + R_C = 0. (9¹)

Сложив левые и правые части этих уравнений, получим уравнение

– 0,5P₂ – (M/6) + 2X_Dcos45⁰ + 2R_C = 0. (10)

Из уравнения (10) находим реакцию R_C:

R_C = (0,5P₂ + (M/6) – 2X_Dcos45⁰)/2 =

= (0,5·4 + (6/6) – 2·(– 2,299)·0,707)/2 = 3,832 кН.

Возвращаясь к уравнению (9¹), находим реакцию R_B:

R_B = P₂(3/6) – (M/6) + R_C = 4(3/6) – (6/6) + 3,832 = 4, 832 кН.

Таким образом, при совместном решении уравнений (4)-(9) определяются реакции X_A, Y_A, R_B, R_C внешних связей в точках А, В, С и реакции X_D, Y_D внутренней связи в точке D.

Для проверки полученных результатов расчетов используются уравнения:

∑ F_iX = 0 = X_A+P₁cos60⁰ – R_Bsin45⁰+P₂sin45⁰ – R_csin45⁰ = 0 =

=2,299+2·0,5 – 4,832·0,707+ 4·0,707 – 3,832·0,707 = 0 = 0; (1)

∑ F_iY = 0 = Y_A – Q – P₁sin60⁰+R_Bcos45⁰ – P₂cos45⁰+R_ccos45⁰ = 0=

= 6,433 – 8–2·0,866+ 4,832·0,707+ 4·0,707+3,832·0,707 = 0 =0;(2)

∑ M_iB = 0 = –Y_A·8+Q·6+P₁sin60⁰·2+R_B·6+P₂·3+R_C·6 = 0 =

= – 6,433·8+ 8·6+2·0,866·2 – 4,832·6+ 4·3 – 6+3,832·6 =0 =0. (3)

Проверка показала, что расчеты проведены правильно.

Таким образом, если необходимо определить реакции внешних связей для составной конструкции, то следует расчленить конструкцию по внутренней связи и рассмотреть равновесие каждого тела.

Для решения некоторых задач на составную конструкцию может быть использована теорема о равновесии трех непараллельных сил.

Теорема. Линии действия трех непараллельных взаимно уравновешивающихся сил, лежащих в одной плоскости, пересекаются в одной точке.

Н

Рис. 1.65

D

а рис. 1.65 изображена составная конструкция из двух тел, соединенных между собой внутренним шарниром в точкеD.

Дано. На тело 1 действует активная сила F.Тело 2 загружено только по его концам В и С. Исходя из этого, тело 2 можно считать невесомым стержнем. Определить реакции внешних связей.

Решение. На механическую систему, состоящую из двух тел, действуют три взаимно уравновешивающиеся внешние силы: активная сила F и реакции R_A, R_B в шарнирно неподвижных опорах А и В. Так как тело 2 является невесомым стержнем, то линия действия реакции R_B проходит по стержню 2. Линии действия силы F и реакции R_B пересекаются в точке D. Так как три силы F, R_A и R_B не параллельны и лежат в одной плоскости, то линия действия реакции R_A тоже должна проходить через точку D.

Система сил (F, R_A, R_B) уравновешенная, поэтому силовой треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнут. Для определения величин реакций используется теорема синусов:

F/sin(α+β) = R_B/sinα = R_A/sinβ.

Величина угла α находится из рис. 1.65 по формулам:

tgα= 2/6 = 0,333; α = arctg0,333 = 18,434⁰.

Величина угла β = 45⁰. Это так же видно из рис. 1.65. Окончательно находим:

R_A = Fsinβ/sin(α+β) = 40·0,704/0,894 = 31,633 кН;

R_B = Fsinα/sin(α+β) = 40·0,316/0,894 = 14,138 кН.

Действительное направление реакций R_A и R_B показано на силовом треугольнике.

Эту задачу можно решить и по изложенному ранее алгоритму. Однако такое решение требует больших расчетных работ.