2799-up_ch2

91

Для полного описания данной АЧХ необходимо установить две величины: коэффициент затухания ε и порядок фильтра N.

	1	Фильтр 1 порядка
		Фильтр 2 порядка
		Фильтр 3	порядка
.		Фильтр 4	порядка
	ˆ
K( )

0	1	2	3	ˆ

Рисунок 6.2 – АЧХ фильтров Баттерворта при ε =1

Используя уравнения (6.1) и (6.2), получим:

ˆ

A 20lg

Kmax

20lg

1 2

10lg 1 2

(6.4)

ˆ ˆ

ï

K

ï

ˆ

N

ˆ 2

ˆ 2

Kmax

2

N

2

Aç 20lg

20lg

1

ç

10lg 1

ç

(6.5)

ˆ ˆ

K ç

Решая (6.4) относительно ε, найдем

100,1Aп 1

(6.6)

Если затухание АЧХ в пределах полосы пропускания составляет 3 дБ, то коэффициент ε отличается от единицы и АЧХ падает до уровня 0,7071 от своего максимального значения.

														1
		0,1 3							ˆ
10			1		0,9976	и	KÁ	1										0,7078.
														1 2
							ˆ N	, найдем
Решая (6.5) относительно ç
							ˆ N				100,1Aç 1
							ç										(6.7)

92

Используя (6.6) и (6.7), получим формулу для расчета наименьшего значения N:

		100,1Aç 1			ˆ
	N lg				/ lg ç	(6.8)
		100,1Aï 1
	Основные параметры НЧ-прототипов Баттерворта приведены в таблице
	6.2.
	НЧ-прототип Баттерворта N-го порядка при 1 имеет следующее
	выражение для коэффициента передачи:

Ê Á

ðˆ

1

1

,

(6.9)

ðˆ

N a

N 1

ðˆ

N 1 ... a

pˆ 1

pˆ

pˆ

... pˆ

pˆ

n

1

1

где pˆ p ï

;

а1, а2, …, аn,… – вещественные коэффициенты; pˆ1, pˆ 2 , pˆ3 ,..., pˆ n – полюса функции Ê Á ðˆ .

Для фильтров Баттерворта, порядок которых не превышает 9, математические модели импульсных характеристик и операторных коэффициентов передачи для 1 приведены в таблицах 9.3.1-9.3.9 настоящего пособия. Передаточные функции представлены в виде произведений биквадратных звеньев.

KÁ pˆ

l

1

...

1

(6.9а)

( pˆ

m)

( pˆ

2 k pˆ

( pˆ 2 k

pˆ

m )

4

m )

1

1

4

где l , m , m1 4 и k14 - вещественные коэффициенты.

6.3Классические НЧ-прототипы Чебышева 1-го типа и их характеристики

Равноволновая в полосе пропускания АЧХ фильтра Чебышева имеет следующий вид:

ˆ

1

K×

,

(6.10)

2

2

ˆ

1 ÒN

где - параметр, характеризующий неравномерность АЧХ в полосе

пропускания;

ˆ

ÒN - полином Чебышева первого рода порядка N;

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

;

cos N arccos , åñëè

ï

ÒN

ˆ

åñëè

ˆ

ˆ

(6.11)

ch N Arch ,

ï .

93

Таблица 6.2 – Основные параметры НЧ-прототипов Баттерворта и Чебышева 1 типа

Аппроксимация АЧХ

Расчет порядков и

График и математическая модель

Передаточные функции и

параметров АЧХ НЧ-

Наимен.

расчет полюсов

прототипов

АЧХ

НЧ-прототипов

N

1

δ1

KÁ pˆ K0

pˆ pˆ k

100,1Aç 1

2

1 1

k 1

lg

100,1Aï

1

pˆ p ï

N Á

Полином

ˆ

ˆ

K

- нормировочный коэффициент

δ2

0

lg ç

ï

Баттерворт

b0

а

Ê× ( pˆ )

ðˆ N b

... b pˆ b

100,1Aç 1

п 1

з

п

ðˆ N 1

ˆ

2 ˆ 2N

N 1

1

0

Arch

1

1

1 N

0,1A

1

10

KÁ

k

sin 2k 1 2N

N×

ï

ˆ

ˆ

ˆ

1 N

cos 2k 1 2N

Arch

ç

ï

ï , 1

k

1

δ1

2

Aç 20lg Kmax

1

N

K ç

1

K× pˆ K0

ˆ

pˆ pˆ k

20lg 2

k 1

Полином

δ2

pˆ p ï

A 20lg Kmax

Чебышева

K0 - нормировочный коэффициент

1 типа

п 1

ï

ˆ

з

pˆ k k j k

K ï

ˆ

1

1

2 2

ˆ

k sh 1 N Arcsh 1 sin 2k 1

2N

20lg

1

2

K×

ÒN

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

k ch 1

N Arsh 1 cos 2k 1 2N

20lg 1

cos N arccos ,

ï

TN

ˆ

ˆ

ˆ

1

ch N Arch , ï

94

Полиномы Чебышева нулевого и первого порядков без особых проблем можно рассчитать по формуле (6.11).

ˆ

T0 1, если N 0 .

ˆ

ˆ

T1 , если N 1.

При

произвольном

значении

N

математическая модель

полинома

Чебышева может быть определена по рекуррентной формуле вида:

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(6.12)

TN 2 TN 1 TN 2 .

С помощью соотношения (6.12) записываются математические модели

полиномов Чебышева при N 2, 3, 4....

T2 2 1 2 1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

ˆ

T3 2 2 1 4

3

ˆ 2

(6.13)

ˆ

ˆ

ˆ 2

ˆ

ˆ

ˆ 4

1

T4 2 4

3 2 1

8

8

.......................................................................

ˆ ˆ

1, то

ˆ

)

1 при любом значении N.

Если ï

TN ( ï

Соотношение (6.10) содержит два параметра, подлежащие определению, а именно, и N. На рисунке 6.3 показаны АЧХ фильтровЧебышева при =0,5 и N=2, 3 и 4.

Величина вычисляется по заданной неравномерности AП АЧХ в

полосе пропускания фильтра. При этом следует исходить из выражения
A	20lg	K×	max	20lg	1	2		2	(6.14)
		K×	ï				10lg 1	.
ï
			ˆ
	1						Фильтр 2 порядка
							Фильтр 3 порядка
							Фильтр 4 порядка
.	ˆ
K( )

0

1

2

3

ˆ

Рисунок 6.3 – АЧХ фильтров Чебышева при =0,5

Порядок НЧ-прототипа Чебышева определяется, как и в п.6.2,

величиной затухания АЧХ в полосе заграждения АЗ.

K×

max

2 2

2

2

ˆ

ˆ

A 20lg

20lg 1 Ò

10lg 1

T

. (6.15)

K× ç

ç

N

N

ˆ

95

Решая (6.14) и (6.15), получим:

		100,1Aп			1
ˆ	100,1Aç 1					100,1Aç 1
TN ç
						100,1Aï 1

Применяя (6.11) при ˆ ˆ ï , найдем

			ˆ	100,1Aç 1
	ch N Arch ç
				100,1Aï 1
		100,1Aç 1					ˆ
	N Arch						Arch ç
		100,1Aï			1

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

НЧ-прототип Чебышева , основные параметры которого приведены в таблице 6.1, имеет следующее выражение для коэффициента передачи:

Ê×	ðˆ		b0			b0		. (6.20)
		ðˆ	p1 ... ðˆ pn			ðˆ N bN 1 ðˆ N 1
							... b1 pˆ b0
где pˆ p ï	;

а1, а2, …, аn,… – вещественные коэффициенты; pˆ1, pˆ2 , pˆ3,..., pˆn – полюса функции K Á ðˆ .

Для фильтров Чебышева 1 типа порядка с 1 по 9 математические модели импульсных характеристик и операторных коэффициентов передачи приведены в таблицах 9.4.1-9.4.9, данных в настоящем пособии в качестве приложений. Передаточные функции представлены в виде произведений биквадратных звеньев.

K× pˆ

l

1

...

1

(6.20а)

( pˆ

m)

( pˆ

2 k pˆ

( pˆ 2 k

pˆ

m )

4

m )

1

1

4

где l , m , m1 4 и k14 - вещественные коэффициенты.

96

6.4Синтез РЦФ различного назначения по классическому НЧпрототипу методом билинейного Z-преобразования

6.4.1 Деформация аналоговой частоты НЧ-прототипа

При использовании билинейного Z-преобразования (5.2) следует учитывать деформацию аналоговой частоты НЧ-прототипа

pˆ

2

1 z-1

ôí÷

1 z-1

,

(6.21)

ï

z-1

z-1

ÒÄ 1

1

где фнч

2

.

п

Т Д

Выполняя в (6.21) замены переменных pˆ j

и z e-j Tд , получим

ï

ˆ

выражение для расчета нормированной аналоговой частоты НЧ-прототипа.

ˆ

Tä

tg ˆ .

ôí÷

tg

ôí÷

(6.22)

2

	ˆ	ôí÷	tg ˆï 1, поэтому
Откуда ï
ôí÷	ctg ˆï .		(6.23)

Графическая иллюстрация деформации аналоговой частотной оси (6.22) показана на рисунке 6.4, результаты расчетов приведены в таблице 6.3.

ˆ		фнч	tg(ˆ )

ˆ

0,05	0,1	п		ˆп
		ˆ	1		2

Рисунок 6.4 – Связь между аналоговыми и цифровыми частотами Таблица 6.3 - Деформация аналоговых частот

		97
Нормированные цифровые частоты полосового фильтра					Отношение
Нижняя граничная	Верхняя	Отношение			деформированных
частота	граничная	граничных частот			аналоговых
	частота				частот
ˆï 1	ˆï 2	ˆï 2 ˆ		ï 1	п2 п
					1
0,05	0,1		2		2,05114
0,245	0,255		1,0408		1,06486
0,4	0,45		1,125		2,05262
Равноотстоящие цифровые полосы преобразуются в аналоговые
полосы. Полосы аналогового прототипа растягиваются тем больше, чем
ближе полоса ЦФ	к частоте	Найквиста	ˆ 0,5. Соотношение между
цифровыми и аналоговыми частотами мало меняется (практически
сохраняется) в области низких частот.

6.4.2 Частотные преобразования НЧ-прототипов при синтезе РЦФ различного назчения

Проектирование цифровых фильтров различного назначения (полосовых (ПФ), фильтров верхних частот (ФВЧ), заграждающих (РФ) и всепропускающих (ВПФ)) сопряжено с частотными преобразованиями. Основные методы частотных преобразований показаны на рисунке 6.5.

Расчет

Преобразование

ЦФ

аналогового НЧ-

методом

прототипа в

билиней

аналоговые ФВЧ,

ного z-

ПФ, РФ

преобра

зования

Расчет

Расчет

ЦФ с

нормирован

Расчет

аналогового

заданными

ных

Преобразование

ЦФ

НЧ-

цифрового ФНЧ в

характерис

граничных

методом

прототипа

тиками

частот ЦФ

цифровые ФВЧ,

билиней

ПФ, РФ

ного z-

(преобразование

преобра

Константинидиса)

зования

Рисунок 6.5 – Основные методы частотных преобразований

В первом случае происходит преобразование полосы частот аналогового фильтра-прототипа, а во втором – преобразование полосы частот

98

цифрового ФНЧ. Метод цифровых частотных преобразований предложил американский ученый А. Дж. Константинидис. По данному методу синтезируется низкочастотный цифровой фильтр, а затем он преобразуется в цифровой ФВЧ, ПФ или РФ.

В первом случае передаточная функция аналогового НЧ-прототипа преобразуется в передаточную функцию аналогового ПФ, РФ или ФВЧ. При этом делаются замены нормированного оператора pˆ в соответствии с

приведенными в таблице 6.4 соотношениями, и рассчитываются граничные частоты НЧ-прототипа.

Во втором случае системная функция цифрового ФНЧ преобразуется в системную функцию цифрового ПФ, РФ или ФВЧ. При этом делаются

замены нормированного оператора Z 1 в соответствии с соотношениями, приведенными в таблице 6.5, и рассчитываются граничные частоты НЧпрототипа.

Для сравнительного анализа двух основных методов частотных преобразований выполним переход от НЧ-прототипа к цифровому полосовому фильтру двумя путями.

Первый путь частотных преобразований (на примере ПФ).

Преобразование аналоговой частоты согласно третьей строке таблицы 6.4

2

ˆ

ˆ

Kôí÷ ( pˆ ) Kïô

pˆ

ï 1

ï 2

(6.24)

ˆ

ˆ

pˆ ï 2

ï 1

Билинейное Z-преобразование аналогового полосового фильтра

Kïô

( pˆ ) Kïô

(z), ãäå pˆ ôí÷

1 z 1

1 z 1

2

1 z-1

2

tg ˆï

1 ôí÷

tg ˆï 2

ôí÷

2

ˆ

ˆ

ôí÷

1 z

-1

pˆ

pˆ ï

1

ï 2

(6.25)

ˆ

ˆ

1 z

-1

pˆ ï

ï

ôí÷

ôí÷

tg ˆï

2 tg ˆï 1

-1

2

1

1 z

1 z-1

2

tg ˆï 1

tg ˆï 2

1 z

2

1 z

2

1 z

-1

-1

-1

tg ˆï 1 tg ˆï 2

pˆ

-2

tg ï 2 tg ï 1

1 z

-1

tg ˆ

tg ˆ

1 z

ˆ

ˆ

ï 2

ï 1

1 z

-1

99

1 tg ˆ

ï 1

tg ˆ

ï 2

2z 1 1 tg ˆ

1

tg ˆ

ï 2

z 2 1 tg ˆ

ï 1

tg ˆ

ï 2

ï

1 z-2 tg ˆ

tg ˆ

ï 1

cos ˆ

2z 1cos ˆ

ï 2

2cos ˆ

ï 2

ˆ

ï 1

ï

2

ˆ

ï 1

z

ˆ

ï 1

ï 2

1 z-2

sin ˆ

ˆ

ï

1

ï 2

pˆ ïô

1 2 z-1 z-2

(6.26)

1 z

-2

ïô ctg ˆï

2

ˆï

1

(6.27)

cos

ˆï

2

ˆï

1

cos

ˆ

ï

ˆ

ï

(6.28)

2

1

Второй путь частотных преобразований (на примере ПФ).

Билинейное Z-преобразование НЧ-прототипа в соответствии с формулой (5.2)

K

( pˆ ) K

(Z ) ,

pˆ

1 z-1

, где

ctg( ˆ

ï ) , ï

ôí÷

ôí÷

ôí÷

ôí÷

1

z-1

ï

ï

нормированная граничная частота цифрового ФНЧ-прототипа.

Преобразование полосы частот цифрового ФНЧ в соответствии с третьей строкой таблицы 6.5

	Kфнч (Z ) Kфнч (z)
			1				2			z 1 z 2
			1															1 2 z 1 1 z			2
Z 1							1																(6.29)
				2				1		1				2				1	2 z 1 1 z 2
	1			1			z			1	z
											1					1 2 z 1 1 z 2
	pˆ				1 Z -1					ôí÷						1 2 z 1 1 z 2
			ôí÷
					1 Z -1						1					1 2 z 1 1 z 2
																1 2 z 1 1 z 2
								pˆ ïô					1 2 z 1 z						2				(6.30)
																	1 z 2

100

	cos ˆï			ˆï
	cos ˆ	ï	2	ˆ			ï	1					(6.31)
			2					1
ctg[ ( ˆ		ï		ˆ		ï			)] tg( ˆ			ï )	(6.32)
			2					1				ï
ïô ctg[ ( ˆï					2		ˆï			1	)]		(6.33)
пф фнч													(6.34)

Вне зависимости от того, в каком порядке выполняются частотные преобразования (сначала аналоговое перемещение полосы частот НЧпрототипа в требуемую область, а затем дискретизация аналогового фильтра; либо сначала дискретизация НЧ-прототипа, а затем цифровой перенос полосы частот в требуемый диапазон), результирующее преобразование остается неизменным и называется обобщенным билинейным Z-преобразованием,

если граничная частота полосы пропускания пп цифрового ФНЧ-прототипа совпадает с граничной частотой п проектируемого ФНЧ.

пп п или ˆïï ˆï

При аналоговом переносе полосы частот деформированная полоса определяется как разность деформированных граничных частот. При цифровом перемещении полосы частот деформированная полоса определяется как деформированная разность граничных частот.