2799-up_ch2

131

Рисунок 7.7 – Рабочее окно программы, иллюстрирующее частотные и временные характеристики цифровых ПФ

132

				cos ˆï								2				ˆï					1							cos 0,08 0,02																														0,9682
				cos ˆ
											ï	2				ˆ			ï		1							cos 0,08 0,02
ˆ								ˆ						1
ï			2	ï							1
														sin 2 ˆï 2																																									sin 2 0,08
ˆ
ï			2	ðô							cos 2 ˆï																							0,1908															0,9683 - cos 2																							0,08			1
																													2
ˆ																		sin 2 ˆç																																																		sin 2 0,03
																																		1
ç			0,1908										0,9683 cos 2 ˆ																															0,1908																		0,9683 cos 2 0,03																	2,5561
1																																							ç
ˆ																		sin 2 ˆç2																						1																													sin 2 0,05
ç	2		0,1908											0,9683 cos 2 ˆç																																0,1908																		0,9683 cos 2 0,05																3,4193
																																									2
3. Расчет порядка НЧ-прототипа Баттерворта
					lg					100,1Aç 1																		lg								100,1 15 1
N		Á							100,1Aï										1																10		0,1 3,01												1											0,7431									1,8231
										ˆ						ˆ
						lg																												lg			2,5561																					0,4076
										ç						ï
N Б 2												1
4.			Определение передаточной функции НЧ-прототипа Баттерворта
K pˆ 1								pˆ 2											pˆ 1 , где																		pˆ p
																	2																																	ï		.
K pˆ																1													, где								pˆ																2					j								2
						pˆ pˆ1 pˆ pˆ 2																																1,2														2													2
5. Определение системной функции цифрового ПФ Баттерворта
p рф														1 z 2																		0,1908																					1 z 2
							1 2 z 1 z 2																																						1 2 z 1 z 2
Здесь 0,9683,																				ðô tg ˆï																				2		ˆ								ï		1	0,1908.
K (z)																																										1																																			.
																		1 z-2																			2																													1 z-2
								ðô				1 2 z														-1		z						-2						2										ðô								1 2 z												-1		z	-2 1
K (z)																																												1 2 z-1 z-2 2
											2	1 z-2 2																												1 z-2 1 2 z-1 z-2 1 2 z-1 z-2 2
								рф																						2							рф
						A				a		0			a			1			z-1 a											2				z-2 a												3			z-3 a														4	z-4
K (z)								1 -				b z-1											b					2		z-2 b												3				z				-3 b											4		z-4									,
															1

133

A																	1						,
																	1 2
						2							рф
																					рф
a	0	1,											a 4 ,											a	2		2 4 2 ,													a	3	4 ,					a	4		1,
														1
																													2 2								2 4 2
				2 2												рф				4
b1																								,			b2						рф											,
																			1 2																				1 2
							2								рф															2						рф
																					рф																					рф
																																											2
					2 2																4												2								1
b3																		рф									, b4											рф				рф			.
																						2
										2							рф			1													2					рф			1		2
																						рф																					рф
K (z)								0,7656 1 3,87282 z-1																				5,74969 z-2 3,87282 z-3																						z-4
													1 -				3,3649 z-1							4,3461 z-2												2,565 z-3 0,5869 z-4
Амплитудно-частотная																								характеристика																фильтра							K1( ˆ )			получена из
системной функции																				K (z)			при z e j Tä													e j2ˆ и представлена на рисунке
																					1
7.8.

			1
K1	^
	ω
K2	^
	ω		0.5
0.7088
			0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	^
													1 ω
		Рисунок 7.8 – Амплитудно-частотные характеристики двух РФ,
					рассчитанных в пунктах 7.7 и 7.8

7.8Синтез цифрового РФ Баттерворта методом обобщенного билинейного Z-преобразования

Разработать цифровой РФ с параметрами:

134

частота дискретизации – 128 кГц;

граничные частоты полосы пропускания – 28,16 кГц и 35,84 кГц;

граничные частоты полосы заграждения – 30,08 кГц и 33,92 кГц;

затухание АЧХ в пределах полосы пропускания – 3,01 дБ;

затухание АЧХ в пределах полосы заграждения – 12 дБ.

1.Расчет нормированных цифровых частот ПФ

ˆï 1 ï 1 ä fï 1 fä 28,16128 0,22ˆï 2 ï 2 ä fï 2 fä 35,84128 0,28ˆç1 ç1 ä fç1 fä 30,08128 0,235ˆç2 ç2 ä fç2 fä 33,92128 0,265

2.Расчет деформированных частот аналогового НЧ-прототипа

ˆ ðô 2 ˆsin

					cos 2 ˆ
ðô				tg		ˆï					ˆï						tg 0,28 0,22 0,1908
				cos ˆï					2		ˆï			1					cos 0,28 0,22
				cos ˆ					2				1																								0
								ï			ˆ	ï							cos 0,28 0,22
									2				1
ˆ					ˆ					1
ï			2	ï				1
										sin 2 ˆï 2																					sin 2 0,28
ˆ
ï				ðô																	0,1908																					1
			2				cos 2 ˆ											ï												0 - cos 2 0,28
																		2
ˆ											sin 2 ˆç																												sin 2 0,235
																					1
ç			0,1908						0,9683 cos 2 ˆç																				0,1908										cos 2 0,235							2,0275
1
											sin 2 ˆç2															1
ˆ																																					sin 2 0,265
ç			0,1908																							0,1908																		2,0275
	2								0		cos 2 ˆç																										cos 2 0,265
																					2
3. Расчет порядка НЧ-прототипа Баттерворта
					lg		100,1Aç 1												lg			100,1 12 1
N		Á				100,1Aï						1									100,1 3,01 1																	0,5859		1,9084
							ˆ				ˆ
					lg																lg			2,0275											0,307
							ç				ï
									1

N Б 2

4. Определение передаточной функции НЧ-прототипа Баттерворта
K pˆ 1 pˆ 2				pˆ 1 , где				pˆ p
			2						ï		.
		1
K pˆ							, где	pˆ			2			j	2
	pˆ pˆ1	pˆ pˆ			2						2				2
								1,2

5. Определение системной функции цифрового ПФ Баттерворта.

135

										1 z 2																								1 z 2
p рф																									0,1908
					1 2 z 1 z															2															1 z 2
Здесь 0 ,										ðô					tg					ˆï					2		ˆï				1					0,1908.
K (z)																					1																						.
									1 z						-2 2														1 z-2
							рф		1 z						-2				2							рф			1 z									-2 1
				A a					0			a			1	z-1				a					2	z-2 a											3		z-3 a							4	z-4
K (z)							1 -		b z-1 b												2	z				-2 b						3			z				-3 b				4		z-4							,
												1
A									1											,
																	2
		2					рф			1
																		рф
a0 1,							a1 0 ,											a2 2 ,									a3 0 ,													a4 1,
															2 2																																							1 2
																					2																												2
b 0 , b																		рф											,				b					0 , b															рф		рф	.
						2																														3								4
1																			1 2																																			1 2
													2				рф																																2				рф
																											рф																												рф
							1,304 1 2 z-2																		z-4
K (z)			1 - 2,514 z-2																	1,704 z-4 .																																	K2 ( ˆ )
Амплитудно-частотная характеристика фильтра																																																							получена из
системной функции K															2	(z)			при z e j Tä																				e j2ˆ и представлена на рисунке
7.8.

Частотные (амплитудно-частотные и фазочастотные) и временные (переходные и импульсные) характеристики двух ПФ, рассчитанных в пунктах 7.7 и 7.8, показаны на рисунке 7.9.

136

Рисунок 7.9 – Рабочее окно программы, иллюстрирующее частотные и временные характеристики цифровых РФ

137

7.9Синтез цифрового ФНЧ Баттерворта методом инвариантной импульсной характеристики

Разработать цифровой ФНЧ с параметрами:

частота дискретизации – 128 кГц;

граничная частота полосы пропускания – 15 кГц;

граничная частота полосы заграждения – 30 кГц;

затухание АЧХ в пределах полосы пропускания – 3 дБ;

затухание АЧХ в пределах полосы заграждения – 10 дБ.

1. Расчет нормированных цифровых частот

ˆï ï ä fï	fä 15 128 0,1172
ˆç ç ä fç	fä 30 128 0,2344

ˆç ˆï 0,23440,1172 2

Так как метод инвариантной импульсной характеристики не дает деформации частотной оси, то отношение граничных частот цифрового ФНЧ и отношение граничных частот аналогового НЧ-прототипа совпадают, то есть

ˆ

ˆ

ˆç ˆï .

ç

ï

2. Расчет порядка фильтра Баттерворта

lg

100,1Aç

1

lg

100,1 10

1

N

Á

100,1Aï

1

100,1 3

1

0,4782

1,5885

ˆ

ˆ

lg

2

0,301

lg

ç /

ï

NБ =2

3.Определение импульсной характеристики фильтра Баттерворта,

нормированной относительно граничной частоты полосы пропускания п , согласно таблице 9.3.9

g t	п	Ae a t sin(w	t) , где t	п	t
		a
A 1,41589356,
a 0,70794678,

wa 0,70794678.

4. Денормирование импульсной характеристики

g t		п	Ae a t п sin(w			t	п	)
					a
5.	Дискретизация импульсной характеристики
g(n) Tд g t n Tд
ï	Tä		ˆ
		2 ï , поскольку п п .
g(n) A 2 ˆ				ï	e 2 a ˆï	n sin 2 w			ˆ	ï	n
								a

138

g(n) 1,0426 e0,5213 n sin 0,5213 n

g(n) 1,0426 0,5938 n sin 0,5213 n

6. Определение системной функции цифрового ФНЧ (в соответствии с

таблицей 2.2)

Ksin z

A z 1e Tд sin Т

д

1 2z

1e Tд cos Т

д

z 2e 2 Tд

K1 z

z 1 1,0426 0,5938 sin 0,5213

2 0,5938 cos 0,5213 z 1 0,59382 z 2

1

K1 z

z 1 0,3083

1,0299 z 1 0,3526 z 2

1

Амплитудно-частотная характеристика фильтра

K1( ˆ )

получена из

системной функции

K (z) при z e j Tä e j2ˆ

и представлена на рисунке

1

7.10.

1 1
ˆ
|K1(ω)|
ˆ
|K2(ω)|
0,7088
0	0,1172	0,5	ˆ
			ω

Рисунок 7.10 – Амплитудно-частотные характеристики ФНЧ, рассчитанных в пунктах 7.9 и 7.10

7.10Синтез цифрового ФНЧ Баттерворта методом инвариантной импульсной характеристики

Разработать цифровой ФНЧ с параметрами:

частота дискретизации – 128 кГц;

граничная частота полосы пропускания – 15 кГц;

граничная частота полосы заграждения – 30 кГц;

затухание АЧХ в пределах полосы пропускания – 3 дБ;

затухание АЧХ в пределах полосы заграждения – 20 дБ.

1. Расчет нормированных цифровых частот

	139
ˆï ï ä fï	fä 15 128 0,1172
ˆç ç ä fç	fä 30 128 0,2344

ˆç ˆï 0,23440,1172 2

Так как метод инвариантной импульсной характеристики не дает деформации частотной оси, то отношение граничных частот цифрового ФНЧ и отношение граничных частот аналогового НЧ-прототипа совпадают, то есть

ˆ

ˆ

ˆç ˆï .

ç

ï

2. Расчет порядка фильтра Баттерворта

lg

100,1Aç

1

lg

100,1 20

1

N

Á

100,1Aï

1

100,1 3

1

0,9988

3,3184

ˆ

ˆ

lg

2

0,301

lg

ç /

ï

NБ =4

3.Определение импульсной характеристики фильтра Баттерворта по

таблице 9.3.9

g(t) / п e a t ( A1 cos(wa t) A2 sin(wa t))

e b t (B1 cos(wb t) B2 sin(wb t)), где t п t A1 -0,9244,

a 0,3829, wa 0,9244,

A2 -0,3829,

B1 0,9244,

b 0,9244, wb 0,3829,

B2 2,2318.

140

4. Дискретизация импульсной характеристики
g(n) ï Tä g t ï Tä n
ï Tä 2 ˆï , поскольку п п .
g(n) 2 ˆ	{ e 2 a ˆï n [ A cos 2 w ˆ				ï	n A			sin 2 w ˆ	ï	n ]
ï			1	a				2	a
e 2 b ˆï n [B		cos 2 w ˆ	n B	sin 2 w ˆ			ï	n ]}
	1	b ï	2			b

g(n) 0,7364 { 0,7543 n [ 0,9244 cos 0,6807n 0,3829 sin 0,6807n ]

0,5063 n [0,9244 cos 0,2820n 2,2318 sin 0,2820n ]}

5. Определение системной функции ЦФ (в соответствии с таблицей 2.2)

z

1

e

T

cos Т

A

д

1

1

д

Kcos z

1 2z

1 e

Tд cos Т

д

z 2

e 2 Tд

Ksin z

A

z 1 e Tд sin Т

д

2

1 2z 1 e Tд cos Т

д

z 2

e 2 Tд

0,9244 z

1

0,9244 0,7543cos 0,6807

K

z 0,7364

2

1

2

2

1 z

2 0,7543cos 0,6807 z

0,7543

						z 1			0,3829 0,7543sin 0,6807
	1			z 1		2 0,7543cos 0,6807 z 2					0,7543 2
				0,9244 z 1 0,9244 0,5063cos 0,2820
	1			z 1		2		0,5063cos 0,2820 z 2			0,5063 2
						z	1		2,2318 0,5063sin 0,2820
					1			0,5063cos 0,2820 z		2	2
	1			z		2
											0,5063

			0,9244 z	1	0,6973cos 0,6807 0,2888sin 0,6807
K		z 0,7364
	2		1 z 1 1,5086cos 0,6807 z 2 0,569

	0,9244 z	1
			0,4680cos 0,2820 1,13sin 0,2820
	1 z 1 1,0126cos 0,2820 z 2 0,2563
Амплитудно-частотная характеристика фильтра									K2 ( ˆ )		получена из
системной функции K				2	(z) при z e j Tä e j2ˆ	и представлена на рисунке
7.10.