2799-up_ch2

101

Таблица 6.4 – Преобразование аналогового ФНЧ в аналоговые фильтры различного назначения и расчёт граничных частот НЧ-прототипа

Тип

Преобразование

Расчет граничных частот

Обобщенное билинейное z-

передаточных

фильтра

НЧ-прототипа

преобразование

функций

ˆ

tg ˆ ,

-1

ФНЧ

pˆ pˆ p

ôí÷

pˆ

1 z

ï

ôí÷ ctg ˆï .

ôí÷ 1 z-1

1

ï

ˆ

ctg ˆ

,

1 z

-1

ФВЧ

pˆ

ôâ÷

pˆ ôâ÷

ˆ

p

ôâ÷ tg ˆï .

1 z

-1

p

ˆ

cos 2 ˆ

ïô

,

ˆ

ˆ

sin 2 ˆ

pˆ

2

ctg ˆï

1 ,

1 2 z

-1

z

-2

ˆ

ï

1 ï 2

ïô

2 ˆï

pˆ ïô

ПФ

ˆ

ˆ

-2

p

pˆ

cos ˆ

ˆ

1 z

ï

2 ï 1

cos ˆï

2

ˆï 1

.

2

ï

ï

1

ˆ

sin 2 ˆ

ðô

,

pˆ

ˆ

ˆ

cos 2 ˆ

1 z-2

РФ

pˆ

ï

2 ï 1

ðô tg ˆï 2 ˆï 1 ,

pˆ ðô

2

ˆ

ˆ

pˆ

1

2 z

-1

z

-2

ï

1 ï 2

cos ˆ

ˆ

cos ˆï

2

ˆï 1

.

ï

2

ï

1

102

Таблица 6.5 – Преобразование цифрового ФНЧ в цифровые фильтры различного назначения и расчёт

граничных частот НЧ-прототипа

Тип

Преобразование Z 1

Расчетные формулы

Обобщенное билинейное Z-

фильтра

преобразование

sin ˆ

ï

ˆ ï

1 z-1

ï

sin ˆï

pˆ ôí÷

,

z1

ˆïï

1 z-1

ФНЧ

Z 1

ˆï

ï

ä

0 , ˆïï

ˆï

, ôí÷

ctg ˆïï

1 z1

ˆ ï

ï

/

ˆ

ï

) tg ˆ

ï

ï

ä

ctg( ˆ

ï

cos ˆ

ï

ˆ ï

1 z-1

ï

cos ˆï

pˆ ôâ÷

,

z1

ˆïï

1 z-1

ФВЧ

Z 1

0 , ˆïï

ˆï

ôâ÷ tg ˆïï

1 z1

,

ˆ

ï

) ñtg ˆ .

cos ˆï

tg( ˆ

ï

2

ˆï 1

1 2 z-1

z-2

1

2

z 1

z 2

cos

ˆï 2

ˆï 1

pˆ

ïô

1 z-2

1

ПФ

Z 1

1

)] tg( ˆ ï )

cos 2 ˆ

ctg[ ( ˆ

ˆ

ˆ

2

1

1

2

ï 2

ï 1

1

z

z

ï

ïô

sin 2 ˆ

1

1

ïô

ctg ˆï

ˆï

cos ˆï

ˆï 1

2

1

1

2

1

2

2

pˆ ðô

1 z-2

z

z

cos

ˆ

ˆ

2

1

2 z

-1

z

-2

1

ï

ï 1

РФ

Z 1

1

ï

sin 2 ˆ

tg[ ( ˆ

ˆ

)] tg( ˆ

2

1

)

ˆ

1

z

1

z

2

ï 2

ï

1

ï

ðô cos 2 ˆ

1

1

ðô tg

ˆï

ˆï

2

1

103

Примечание. В таблице 6.5 приняты обозначения: ˆ нормированная частота требуемого цифрового ФНЧ; ˆ ï нормированная частота

цифрового			ФНЧ-прототипа;	ˆ ï	нормированная граничная частота
				ï
полосы			пропускания цифрового		ФНЧ-прототипа; Z e j2 ˆ ï	и
z e	j2 ˆ	;	ˆ
			нормированная частота аналогового НЧ-прототипа.
	Если для синтеза ЦФ применяется билинейное Z-преобразование,					то

применение аналогового переноса полосы частот сопровождается деформацией, величина которой нелинейно растет по мере приближения полосы пропускания к частоте Найквиста. Если же используется цифровой перенос полосы частот цифрового ФНЧ или обобщенное Z-преобразование, то деформация полосы частот проектируемого ЦФ не зависит от положения средней частоты, что является очень важным при частотном разделении сигналов в ходе цифровой обработки.

6.4.3 Синтез РЦФ методом обобщенного билинейного Z-преобразования

Примерный порядок проектирования РЦФ методом обобщенного билинейного Z-преобразования приведен на рисунке 6.6.

	Расчет			Расчет						ЦФ с
	нормирован						Обобщенное
				аналогового						заданными
	ных						билинейное
				НЧ-						характерис
	граничных						z-преобразование
				прототипа						тиками
	частот ЦФ
		Рисунок 6.6 – Порядок синтеза РЦФ
Расчет нормированных						граничных цифровых частот полос

пропускания и заграждения ˆ ä f fä требуемого цифрового фильтра.

Определение деформированных аналоговых граничных частот полос пропускания и заграждения НЧ-прототипа ˆ ï .

Выбор (или задание) классического НЧ-прототипа Баттерворта, Чебышева или др.

Расчет порядка классического НЧ-прототипа и выбор передаточной функции по таблицам, приведённым как приложения в пунктах 9.3 и 9.4.

Расчет параметров обобщенной билинейной замены в зависимости от назначения цифрового фильтра.

Выполнение обобщенной билинейной замены и переход от передаточной функции НЧ-прототипа K pˆ к системной функции K z

цифрового фильтра, заданного назначения (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ).

104

Расчет частотных характеристик ЦФ, системная функция которых представлена произведением биквадратных звеньев.

Расчет временных характеристик

Основные формулы для выполнения обобщенного билинейного Z- преобразования и расчета граничных частот НЧ-прототипа приведены в таблицах 6.6 и 6.7.

105

Таблица 6.6 – Преобразование передаточных функций НЧ-прототипов K(р) в системные функции ЦФ K(z)

Вид преобразования

Фильтр нижних частот (ФНЧ)

Полосовой фильтр (ПФ)

ˆ

ˆ

0,5

ˆ

0,5

ˆ

ˆ

з

ˆз2

ˆп2

ˆ

ˆп

K( )

0

ˆп1

0

ˆ

Преобразование

ˆз

K( ˆ )

1

ЦФ в НЧ-прототип

0

0

ˆ

ˆ

ˆ

1

K( )

K( )

ˆ

-1

0

1

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

з

0

з

з1

-1

1

з2

Расчет аналоговых

ˆ

ôí÷ tg ˆ ,

ˆ

ˆ

cos 2 ˆ

ï

, ˆ

ä

ïô

частот

sin 2 ˆ

Обобщенная

pˆ

1 z-1

, pˆ p

pˆ

1 2 z-1 z-2

билинейная замена

ôí÷

ïô

1 z-1

1 z-2

ï

ïô

ctg ˆï

2

ˆ

ï

1

Параметры

ôí÷

ctg ˆï

cos ˆï

ˆï

2

1

билинейной замены

cos ˆ

ï

ˆ

ï

2

1

106

Таблица 6.7 – Преобразование передаточных функций НЧ-прототипов K(р) в системные функции ЦФ K(z)

Вид преобразования

Фильтр верхних частот (ФВЧ)

Режекторный фильтр (РФ)

ˆ

0,5

ˆ

ˆ 0,5

ˆ

ˆп

ˆп2

ˆз

ˆз

2

K( ˆ )

Преобразование

0

0

ˆ

ˆз

ЦФ в НЧ-прототип

- ˆз

ˆп

1

-

ˆ

1

- ˆ

ˆ

п

K( )

0

0

ˆ

ˆ

K( )

ˆ

0

1

ˆ

ˆ

ˆ

0

ˆ

ˆ

- -1

з

-1

1

з

з

з

Расчет аналоговых

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

sin 2 ˆ

частот

ôâ÷ ñtg ˆ ,

ä

ðô cos 2 ˆ

ï

Обобщенная

pˆ

1 z-1

, pˆ p

pˆ

1 z-2

билинейная замена

ôâ÷ 1 z-1

ï

ðô 1

2 z-1 z-2

ðô tg

ˆï

2

ˆï

1

Параметры

tg ˆï

cos ˆï

ôâ÷

ˆï

2

1

билинейной замены

cos ˆ

ï

ˆ

ï

2

1

107

6.5Синтез РЦФ методом инвариантной импульсной характеристики

6.5.1 Расчет цифрового НЧ-прототипа

Проектирование цифровых фильтров различного назначения (полосовых (ПФ), фильтров верхних частот (ФВЧ) и заграждающих (РФ) ) сопряжено с частотными преобразованиями.

Примерный порядок проектирования РЦФ методом инвариантной импульсной характеристики (ИИХ) приведен на рисунке 6.7. По данному методу сначала синтезируется низкочастотный цифровой фильтр, а затем он преобразуется в цифровой ФВЧ, ПФ или РФ с помощью цифрового переноса полосы частот, предложенного американским ученым А. Дж. Константинидисом.

Преобразование

Расчет

Синтез

Расчет

цифрового ФНЧ в

ЦФ с

нормирован

цифрового

аналогового

цифровые ФВЧ,

заданными

ных

ФНЧ

НЧ-

ПФ, РФ

характерис

граничных

Методом

прототипа

(преобразование

тиками

частот ЦФ

ИИХ

Константинидиса)

Рисунок 6.7 – Порядок синтеза РЦФ методом ИИХ

Периодической АЧХ ЦФ становится в результате дискретизации импульсной характеристики аналогового НЧ-прототипа и представляет собой наложение частотных характеристик аналогового фильтра, сдвинутых относительно друг друга на интервал, кратный частоте дискретизации д .

За счет эффекта наложения АЧХ цифрового фильтра отличается от АЧХ НЧ-прототипа. Однако в результате того, что складываемые комплексные коэффициенты передачи находятся в разных четвертях комплексной плоскости, эффект проявляется в уменьшении коэффициента передачи. Если частота дискретизации достаточно велика, то эффект наложения минимален.

Главным достоинством синтеза ЦФ методом ИИХ является отсутствие деформации аналоговой частотной оси, то есть цифровая частота ФНЧ-

прототипа п равна аналоговой частоте аналогового НЧ-прототипа

ï

(6.35)

Для аналоговых НЧ-прототипов Баттерворта и Чебышева порядка с 1 по 9 математические модели импульсных характеристик g( tˆ ) и операторных

108

коэффициентов передачи K( pˆ ) приведены в таблицах 9.3.1-9.3.9 и 9.4.1- 9.4.9.

В общем случае импульсная характеристика g(tˆ ) аналогового НЧпрототипа 9-го порядка представляет обратное преобразование Лапласа от

передаточной

функции

K( pˆ )

и

описывается выражением вида:

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ï Ae

a t

e

b t

(B1 cos(wb

g(t )

t )

B2 sin(wb t ))

ˆ

ˆ

ˆ

e

f t

(6.36)

(F1 cos(w f t )

F2 sin(w f t )),

ˆ

t).

ãäå t ( ï

Денормирование импульсной характеристики и последующая

дискретизация

g t ï

g(t ï ),

ãäå

t n Tä ,

g n

Tä

ï g

ï t ï n Tä

g n 2 ˆ

ï g t n ˆ ï

, ãäå T

ï

T ï

2 ˆ

ï

ï

ï

ä

ä

ï

ï

преобразуют математическую модель (6.36) к виду

g(n)

ˆ ï

2 a ˆ

ïï n

2 ï

A e

n

ˆ ï

2 b ˆïï

ˆ ï

n

2 ï

e

B1 cos 2 wb ï

B sin 2 w

ˆ ï n ]

(6.37)

2

b

ï

ˆ ï

2 f ˆïï n

ˆ ï

n

2 ï

e

F1 cos 2 w f ï

F sin 2 w

f

ˆ ï n

2

ï

Применение к (6.37) прямого Z-преобразования и последующее сворачивание геометрических прогрессий в соответствии с таблицей 2.1 дает системную функцию цифрового НЧ-прототипа

A

K

z

2 ˆ

ï

ôí÷

ï

-1

-2 ˆ

ïï

1 - z

e

1

ï

ï

( 6.38)

2 b ˆïï

B1 z

ˆ

ˆ

e

B2sin 2 b ï

B1cos 2 b ï

.

1 2z

1

2 b ˆ

ïï

ˆ ï

z

2

2 b ˆïï

2

e

cos 2 b ï

e

109

6.5.2Частотные преобразования НЧ-прототипа с помощью преобразований Константинидиса

Применение метода инвариантной импульсной характеристики для проектирования цифровых фильтров различного назначения (полосовых (ПФ), фильтров верхних частот (ФВЧ) и заграждающих (РФ) ) связано с частотными преобразованиями, для реализации которых используется цифровое преобразование полосы частот (преобразование Константинидиса).

Системная функция цифрового ФНЧ-прототипа преобразуется в системную функцию ПФ, РФ или ФВЧ путем замены нормированного

оператора Z 1в соответствии с формулами, приведенными в таблице 6.5, с последующим расчетом граничных частот аналогового НЧ-прототипа.

Применение преобразований Константинидиса приводит к деформации граничных частот цифрового фильтра-прототипа.

Рассмотрим деформацию граничных частот цифрового фильтрапрототипа на примере полосового фильтра (таблица 6.5).

			1			2		z 1 z 2
			1											1 2 z 1 1 z 2
Z 1						1
				2			1	1		2				1 2 z 1	1 z 2
			1	1		z		1	z					z z 1 z z 1 2
		1 2 z 1 z2
Z													z z 1 z z 1		2
		1 2 z 1 z2

(6.39)

(6.40)

		Переходя в (6.40) к			цифровым частотам и комплексным функциям
	Z e j пTд и z e j Tд , а также применяя формулы Эйлера, получим
	e j пTд		(cos Tд ) jsin Tд			e j e j2arg[ (cos Tд ) jsin Tд ]	,(6.41)
			(cos T ) jsin T
				д	д
	где	п -		частота цифрового ФНЧ-прототипа,
		- частота проектируемого цифрового ПФ.
		Приравнивая мнимые составляющие выражения (6.41), найдем
		пT		2arg[ (cos T		) j sin T ]	(6.42)
			д		д	д
		Перейдем к нормированным цифровым частотам
		2 ˆ ï 2arg[ (cos2 ˆ ) j sin 2 ˆ ]					(6.42а)

Вычисляя аргумент комплексного выражения (6.42а), получим

												110
					1				1			sin2 ˆ				ños2 ˆ ;
										arctg				,	ïðè
	ï				2							ños2 ˆ
ˆ		1					1					sin2 ˆ				(6.43)
								arctg					,		ïðè	ños2 ˆ .
			2								ños2 ˆ

Результаты расчётов по формулам (6.43) для трёх частных случаев показаны на рисунке 6.8.

Рисунок 6.8 – Графическая иллюстрация связи между нормированной

частотой ˆ ï цифрового ФНЧ-прототипа и нормированными частотами требуемых цифровых ПФ с граничными частотами полос пропускания:

ˆ1ï ( ˆï 1 =0,075 и ˆï 2 =0,1); ˆ2ï ( ˆï 1 =0,2125 и ˆï 2 =0,2875); ˆ3ï ( ˆï 1 =0,4 иˆï 2 =0,475).

Проведя аналогичные рассуждения для цифрового режекторного фильтра (таблица 6.5), выведем формулы для расчёта деформации граничных частот цифрового фильтра-прототипа.

ˆ ï		1	arg[ ños2 ˆ	j sin2 ˆ ]	1	arctg	sin2 ˆ		(6.44)
							ños2 ˆ

Результаты расчётов по формуле (6.44)для трёх частных случаев показаны на рисунке 6.9.