2799-up_ch2

11

2 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И КОММЕНТАРИИ К ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ

2.1Дискретизация сигналов

Впервой части курса «Радиотехнические цепи и сигналы» [9] рассматривались сигналы, моделью которых являлась функция времени s(t), значения которой заданы для непрерывной совокупности всех точек по оси времени (рисунок 2.1,а). Такие сигналы называются непрерывными или аналоговыми.

Сигнал s(t) может быть задан спектральной плотностью							S ,
поскольку s(t) и S связаны парой преобразований Фурье:
S s t e j t dt ,							(2.1)
	1
s t		S e j t d .					(2.2)
	2
Как и s(t), спектральная плотность S			также является аналоговой
функцией частоты (рисунок 2.1,б).
				S

E

s(t)	2

E

	t	–	4		0 4
а)					б)

Рисунок 2.1 – Временное (а) и частотное (б) представления аналогового непериодического сигнала

В радиотехнике часто встречаются задачи, в которых значения сигнала могут быть определены лишь в счетном множестве точек по оси времени (..., t0, t1, t2, ...). Обычно моменты времени tn следуют через равные промежутки Тд, которые называются шагом (интервалом) дискретизации. В этом случае моделью сигнала являются отсчетные значения (..., s(0), s(Тд),

12

s(2Тд), ..., s(nТд), …) в точках (..., 0, Тд, 2Тд, ..., nТд). Такие сигналы называются дискретными (от лат. слова discretis раздельный, прерывистый).

Спектральная плотность сигнала также может быть задана своими отсчетными значениями (..., S 1 , S 2 1 , S 3 1 , ...). Шаг дискретизации по оси частот обозначен 1.

Ясно, что, чем меньше шаг дискретизации Тд (или 1), тем точнее сигнал s(t) (или S ) может быть восстановлен по своим отсчетным значениям. Однако с уменьшением шага дискретизации увеличивается число отсчетных значений, поэтому задача о выборе шага дискретизации требует специального исследования.

2.2Дискретизация сигналов по частоте

Рассмотрим для определенности аналоговый непериодический сигнал s(t)(рисунок 2.1,а), длительность которого равна , а спектральная плотность описывается функцией S . Преобразуем непериодический сигнал s(t) в

периодическую последовательность сигналов sп(t) с периодом Тос> (рисунок

2.2,а).

		sп t	s t mTос ,				(2.3)
			m
где m = 0, 1, 2, …
			S k
			1
			Тос		E	2Тос
sп(t)
E
Тос	2	t	–	0	1
	1						k 1

а) б)

Рисунок 2.2 – Временное (а) и спектральное (б) представления аналогового периодического сигнала

Периодическую последовательность sТ(t) представим рядом Фурье:

13

sп t

jk 1t

С0

2

– < t < .

Ck e

Ck

cos k 1t argCk ,

k

k 1

(2.4)

Здесь коэффициенты Сk

вычисляются по формуле:

1

Tос

2

jk 1t

s t e

Ck

dt .

(2.5)

Tоc T

2

ос

Сравнение выражений (2.1) и (2.5) позволяет утверждать, что S k 1 –

отсчетные значения (отсчеты) спектральной плотности с шагом

дискретизации 1 (рисунок 2.2,б), с точностью до постоянного множителя Тос
совпадают с комплексными коэффициентами Сk :
S 0 Tос C0 , S	1 Tос C1, …,	S	k 1	Tос Ck .	(2.6)

Исходный непериодический сигнал s(t) совпадает с периодической последовательностью sТ(t) на интервале 0 t Тос и вычисляется по дискретным отсчетам S k 1 спектральной плотности, взятым с шагом дискретизации 1 2 Тос .

Формула (2.4) с учетом (2.6) имеет вид:

1

sп t

S k 1

e jk 1t

Tос k

(2.7)

S 0

S k 1

cos k 1t arg S k 1 , 0 t Tоc.

2

Tоc

k 1

Tоc

Для увеличения шага дискретизации по оси частот, необходимо уменьшать период Тос. Но формула (2.4) справедлива при условии Тос > . (Наибольший шаг дискретизации по оси частот при Тос= ).

Заметим, что ширина спектральной плотности реально ограничена, т. е. существуют верхние частоты в, при превышении которых ( > в) спектральную плотность можно считать равной нулю (рисунок 2.2 б). Это означает, что число слагаемых, учитываемых при вычислении ряда (2.4) или

(2.7), конечно.

14

Для оценки числа учитываемых слагаемых N достаточно поделить ширину спектральной плотности 2 в на шаг дискретизации 1 2 Тос :

N 2 в 1 2 fв Tос .

(2.8)

Итак, используя (2.7), можно восстановить непрерывный сигнал s(t) по дискретным отсчетам S k 1 спектральной плотности, взятыми с шагом 1. Число слагаемых N, учитываемых в (2.7), оценивается формулой (2.8).

15

2.3Дискретизация сигналов по времени

Сравнение моделей сигналов, изображенных на рисунках 2.1 и 2.2 и описанных в предыдущих параграфах, позволяет сформулировать следующие обобщения.

1. Аналоговому непериодическому сигналу s(t) соответствует аналоговая непериодическая функция частоты, называемая

спектральной плотностью S .

2. Дискретизация аналоговой спектральной плотности с шагом 1 приводит к преобразованию непериодического сигнала s(t) конечной длительности в периодическую последовательность sп(t) с периодом повторения Тос 2 1 , где Тос > .

3. Уместно предположить (и нетрудно показать, учитывая взаимообратимость преобразований Фурье), что дискретизация аналогового непериодического сигнала s(t) с шагом Тд приведет к преобразованию спектральной плотности, реальная ширина которой

равна 2 в, в периодическую последовательность Sд с периодом повторения д 2 Тд , причем д должна быть больше или равна 2 в (рисунок 2.3,а и б).

Sд

E 2

s(nТд.)

E

		– в	в
Тд	nТд	t	0 д 2 в	2	Тд
	а)		б)
Рисунок 2.3 – Временное (а) и частотное (б) представления
		дискретизированного по времени сигнала

Модель дискретного сигнала, показанного на рисунке 2.3,а, задается отсчетами s(nТд) непрерывного сигнала s(t), взятыми в дискретные моменты времени t=nТд, где Тд – шаг дискретизации, n = 0, 1, 2, …

Для фиксации моментов времени nТд воспользуемся периодической последовательностью -функций:

16
	t nTд .
t		(2.9)
n
Математической моделью дискретного сигнала, заданного в
фиксированные моменты времени, является
sд t s t t s t t nTд .		(2.10)
	n
Так как t nTд существует лишь в момент t=nТд,		то из формулы

(2.10) можно получить второй вариант математической модели дискретного сигнала:

sä t	s nTä t nTä .	(2.11)

n

Периодическую последовательность -функций с периодом Тд можно выразить рядом Фурье (формула (2.4)):

			2						2
		jm		t		1		jm		t
			Tд						Tд
t	Cme					T	e	,			(2.12)
	m
						д m

так как для периодической последовательности -функций Cm 1 Tд .

Подстановка (2.12) в (2.10) дает третий вид математической модели дискретного сигнала:

			jm	2	t
	1
				T
sд t s t		e		д	.	(2.13)
	T
	д m
Для вычисления спектральной плотности дискретного сигнала						S
						д
воспользуемся прямым преобразованием Фурье (2.2):
Sд sд t e j t dt .						(2.14)

17

Подстановка в (2.14) сигнала sд(t) в виде (2.13) дает

						2
1					jm		t		j t
						Tд
Sд		s t		e				e		dt .
	T
	д		m

Изменяя порядок интегрирования и суммирования, получаем

2

1

j

m

t

Sд

s t e

T

д

dt .

Tд m

Интеграл

2

j

m

t

2

s t e

T д

dt

S m

T д

(2.15)

(2.16)

(2.17)

является спектральной плотностью непрерывного сигнала s(t), перемещенной

по оси частот на величину m 2 . Таким образом,

Tä

			1						2
		Sд T					S m T .				(2.18)
				д m					д
Формула (2.18) устанавливает связь спектральной плотности
дискретного сигнала	S		со спектральной					плотностью			непрерывного
	д
сигнала S . Из формулы			(2.18)			следует, что дискретизированному по

времени сигналу sд(t) (рисунок 2.3,а) соответствует периодическая

последовательность спектральных плотностей с периодом 2 по оси частот

Tд

(рисунок 2.3,б).

Замечание

Следует обратить внимание на тот факт, что размерность спектральной плотности аналогового сигнала S равна произведению размерности сигнала s(t) и времени (например, Вольт секунда). Размерность спектральной плотности дискретного сигнала Sд совпадает с размерностью отсчета s(nТд).

18

Спектральную плотность дискретного сигнала Sд можно вычислить

непосредственно по отсчетам сигнала s(nТд). Для этого воспользуемся выражением (2.14), подставив в него вместо sд(t) математическую модель

(2.11):

Sд		s nTд t nTд e	j t dt .	(2.19)

n

Изменяя порядок интегрирования и суммирования и используя фильтрующее свойство -функции, получаем

			jnTд
	Sд	s nTд e		.	(2.20)

n

Определим модуль и аргумент комплексной спектральной плотности дискретного сигнала по формулам:

2

2

S

д

s nT

cos nT

s nT

sin nT

;

д

д

д

д

n

n

s nTд

sin nTд

arg S

д

arctg

n

.

s nTд

cos nTд

n

(2.21)

(2.22)

Формулы (2.21) и (2.22) позволяют рассчитать амплитудно-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) характеристики спектральной плотности дискретного сигнала.

Спектральную плотность аналогового сигнала S можно выразить через спектральную плотность дискретизированного сигнала Sд на интервале частот – в в:

S T	S	д	.	(2.23)
д

Подставляя в (2.23) спектральную плотность дискретного сигнала в виде (2.20), получим

19

S Тд	s nTд e	j nTд , в .	(2.24)

n

Формула (2.24) справедлива, если 2 в 2 , откуда следует требование

Тд

к шагу дискретизации Тд:

Тд

1

.

(2.25)

в

2 fв

Если Тд выбрать из условия Тд

1

, то

2 fв

jn

S

1

s nTд e

2 fв ,

в .

(2.26)

2 fв

n

Формула (2.26) позволяет восстановить спектральную плотность аналогового сигнала s(t) по его дискретным отсчетам, взятым с интервалом

Тд 21fв .

Заметим, что при заданной длительности сигнала Тос число слагаемых N, учитываемых при вычислении ряда (2.26), конечно и оценивается

отношением интервала описания сигнала Тос к шагу дискретизации Тд		1		:
		2 f
			в
N Tоc Tд 2 fвTоc .	(2.27)
Полученный результат для оценки числа требуемых отсчетов сигнала
совпадает с оценкой числа требуемых отсчетов спектральной	плотности
(формула (2.8)).

20

2.4Ряд и теорема Котельникова

Получим выражение, связывающее аналоговый сигнал s(t) с его дискретными отсчетами s(nТд). Для этого найдем s(t) по его спектральной

плотности S , используя (2.2) и (2.26):

		в						jn
	1				1
							s nTд e
s t									2 fв e j t d .		(2.28)
	2				2 f
						в n
			в

Изменяя порядок интегрирования и суммирования и учитывая, чтов 2 fв , Тд 21fв , получаем

1

в

1

e

j t nTд

в

s t

s nTд

e j t nTд d

s nTд

j t nTд

2 в n

в

2 в n

в

1

e j в t nTд e

j в t nTд

s nTд

.

в

t nT

2 j

n

д

Так как

e jx

e jx

sin x и в Т д окончательно имеем

2 j

sin в t nTд

sin Tд t nTд

s t

s nTд

s nTд

.

в t nTд

Tд t nTд

n

n

(2.29)

Полученное выражение называется рядом Котельникова.

Из (2.29) следует, что непрерывный сигнал s(t), ширина спектральной плотности которого ограничена верхней частотой в, может быть полностью восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым с интервалом дискретизации 1 2 fв в . Это положение доказано В. А. Котельниковым в

1933 году и называется теоремой Котельникова.

Ряд (2.29) представляет собой разложение непрерывного сигнала s(t) в ряд по элементарным сигналам вида