2799-up_ch2

21

	sincn t	sin в t nTд
		в t nTд

sin	Tд t nTд				.	(2.30)
T		t nT
д		д

Сигналы (2.30) называются функциями отсчетов (или функциями
Котельникова), которые показаны на рисунке 2.4.
sinсn t			Тд		sin Tд t nTд
	sin				Tд t nTд
		Тд
1					(n+1)Тд
0	Тд	2Тд		nТд	t

Рисунок 2.4 – Функции отсчетов, сдвинутые друг относительно друга на интервал времени nТд

Коэффициентами ряда (2.29) являются отсчеты s(nТд) сигнала s(t) в моменты времени t=nТд. Функции Котельникова sinсn(t) равны единице в момент времени t=nТд и равны нулю в других отсчетных точках t=kТд, k n. Следовательно, ряд (2.29) всегда принимает отсчетное значение s(nТд) в точках t=nТд. Последнее свойство позволяет использовать ряд (2.29) для приближенного нахождения s(t) по его дискретным отсчетам s(nТд) в тех случаях, когда частота в является приближенной оценкой ширины спектральной плотности S .

2.5Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

Аналоговые преобразования Фурье (2.1) и (2.2) связывают между собой две текущие переменные: время t и частоту . Дискретные преобразования Фурье (ДПФ) связывают между собой две дискретные переменные: дискретное время nТд и дискретную частоту k 1. При дискретизации по частоте и по времени выполняются два условия:

1)функция, описывающая сигнал во временной области, будет периодической (с периодом Тос 2 1 ) и дискретизированной с шагом nТд;

2)функция, описывающая сигнал в частотной области, будет

периодической (с периодом д 2 в 2 Тд ) и дискретизированной с

шагом k 1.

Модели периодических и дискретизированных сигналов показаны на рисунке 2.5.

				22
				S	k
						1
				д
					Т	ос		E	2Т
										ос
s	(nТ	)
п	д
	E			s(t)				S
		Т		t			0		N
			=N Т
			ос	д				д		1
				а)				б)
		Рисунок 2.5 – Временное (а) и частотное (б) представления сигнала,
			дискретизированного по времени nТд и по частоте k 1

Вернемся к выражениям (2.7) и (2.26). Эти выражения позволяют по N дискретным отсчетам сигнала или его спектральной плотности получить

непрерывные величины s(t) или S для всех значений переменных t или . Конечно, эти выражения можно использовать и для нахождения дискретных отсчетов s(nТд) и S k 1 . Формула (2.7) при вычислении s(t) справедлива для

0 t Тос (рисунок 2.5,а, сплошная линия). Если – < t < , то формула (2.7) дает периодическую функцию времени sП(t) с периодом Тос (рисунок 2.5,а, пунктирная линия). Очевидно, что отсчетные значения s(nТд), полученные по формуле (2.7) для моментов времени t = nТд, где Т д Тос N , периодически

повторяются с периодом N, т.е. s(nТд) = s[(n+N)Тд].

Формула (2.26) при вычислении S справедлива для

в

(рисунок

2.7,б, сплошная линия). Если – <

< , то формула (2.26) дает

периодическую функцию частоты S

д

с периодом

д

2

в

(рисунок 2.5,б,

пунктирная линия).

Отсчетные значения S k ,

полученные по формуле (2.26)

для =

1

k 1,

где 1 2 в N , периодически

повторяются

с периодом

N, т.е.

S k 1 S k N 1 .

Как указывалось выше, в формулах (2.7) и (2.26) необходимо учитывать N членов ряда. Так как отсчетные значения s(nТд) и S k 1 , полученные по

формулам (2.7) и (2.26), периодически повторяются с периодом N, то суммирование в этих формулах можно начинать с любого номера. Для определенности примем, что суммирование в формулах (2.7) и (2.26) проводится в пределах от 0 до N – 1.

23

Таким образом, если в формуле (2.7) и (2.26) положить t=nТд, =k 1,

Т д 1 2 fв ,	1 2 Тос ,	N Tос Tд 2 в				1 , то они			записываются
следующим образом:
				N 1		2
	s nTд	1		S k 1 e jnk		N		;	(2.31)
		Тос k 0
			N 1		2
	S k 1 Tд s nTд e jnk				N		.		(2.32)
			n 0
Обычно вводится обозначение, связывающее отсчеты спектральной
плотности S	k 1 и коэффициенты комплексного ряда Фурье								Сk :

Сk Т1 S k 1 .

ос

Отсчеты спектральной плотности нормируются, чтобы размерность отсчетов сигнала и нормированных отсчетов спектральной плотности была одинаковой. Окончательно формулы (2.31) и (2.32) преобразуются к виду:

	1 N 1		jnk			2
						N
Сk		sne					;	(2.33)
	N n 0
N 1			jnk	2
				N	.			(2.34)
sn Ck e

k 0

Здесь использовано сокращенное обозначение отсчетов s(nТд)=sn. Полученные выражения называются дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Из них выражение (2.33) является прямым преобразованием и позволяет по N дискретным отсчетам сигнала sn получить N дискретных

нормированных отсчетов спектральной плотности Сk . Обратное преобразование (2.34) позволяет найти N отсчетов сигнала sn пo N нормированным отсчетам спектральной плотности Сk .

Для дискретных преобразований Фурье (2.33) и (2.34) справедливы многие теоремы, доказанные для пары аналоговых преобразований Фурье (2.1) и (2.2), такие как теорема о линейности преобразования, теорема о запаздывании и др.

Принципиально новым свойством преобразований (2.33) и (2.34) является их периодичность с периодом N, т. е.

24

sn=sn+N ,	Сk Сk N .		(2.35)

Следовательно, в формулах (2.33) и (2.34) суммирование можно начинать с любого значения k и n, однако общее число слагаемых при этом должно оставаться равным N.

Если отсчеты сигнала s(nТд) представляют действительные величины, то комплексные коэффициенты Сk обладают свойством

							(2.36)
			Сk C k .
Учет периодичности (2.35) позволяет преобразовать (2.36) к виду
Поэтому	коэффициенты		Сk CN k .			от 0 до N-1	образуют
			Сk	на интервале
комплексно-сопряженные пары (при любом					k, за	исключением	k = 0 и
k N 2 при N – четном):
							(2.37)
С1 CN 1,		С2 CN 2		, …, Сk	CN k .

Коэффициент С0 является действительной величиной при любом значении N. Коэффициент СN 2 равен действительной величине, если N –

число четное.

Для восстановления аналогового сигнала s(t), дискретизация которого дала N отсчетов, можно использовать ряд Фурье (2.7), представляющий конечную сумму двух видов:

	N 1 2		cos k 1t argCk ,
s t С0	2	Ck
	k 1

если N – нечетное число;

	N 2 1				N
s t С0	2	Ck		cos k 1t argCk CN 2	cos		1t ,
	k 1					2

(2.38)

(2.39)

если N – четное число.

25

Следует особо подчеркнуть, что восстановление непрерывного сигнала по формулам (2.38) и (2.39) есть не приближенная, а точная операция, полностью эквивалентная получению текущих значений сигнала с ограниченным спектром по его выборкам, образующим ряд Котельникова. Однако процедура, использующая дискретное преобразование Фурье, в ряде случаев предпочтительна, поскольку она приводит к конечным суммам гармоник, в то время как ряд Котельникова для периодического сигнала принципиально должен содержать бесконечное число членов.

2.6Прямое и обратное Z-преобразования

Для анализа линейных аналоговых систем и цепей, а также анализа прохождения сигналов через них используются преобразования Лапласа и метод контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты p=c+j . Преобразования Лапласа позволяют линейные дифференциальные уравнения, которыми описываются непрерывные системы, свести к алгебраическим.

Аппарат Z-преобразований играет в цифровой обработке сигналов и цифровой фильтрации такую же роль, что и преобразования Лапласа в аналоговой.

Рассмотрим дискретный сигнал, заданный математической моделью

(2.11):

sд t	s nTд t nTд .
	n

Спектральная плотность такого сигнала, равная

		jnTд
Sд	s nTд e			,
n
может быть записана в виде
Sд			jTд		n
						(2.40)
	s nTд e				.
	n

Формула (2.40) показывает, что спектральная плотность дискретного сигнала выражается через трансцендентную периодическую функцию частоты e jTд .

26
Вводя новую комплексную переменную
z e jTд ,	(2.41)

переходим к Z-преобразованию.

Определение. Пусть задана последовательность отсчетов (числовая

последовательность)	{s(nТд)}.	Тогда	прямым	Z-преобразованием
последовательности {s(nТд)} называется сумма
	S z s nTд z n ,			(2.42)

n

где z – комплексная переменная.

Функцию S(z) называют Z-образом дискретного сигнала. Функция S(z) определена лишь для тех значений z, при которых ряд (2.42) сходится. Это означает, что в теории Z-преобразования комплексная переменная z рассматривается для большей области значений, чем дается формулой (2.41).

Выясним, как по Z-преобразованию S(z) можно найти последовательность {s(nТд)}.

Умножим обе части (2.42) на zm 1						и вычислим от обеих частей
контурный интеграл в Z-плоскости по любому замкнутому контуру в области
сходимости S(z), охватывающему начало координат:
				д
	z m 1S z dz					z m n 1dz .	(2.43)
			s nT
		n
Из теории функций комплексного переменного известно, что
	z ndz			2 j, n 1,
						1.	(2.44)
				0,	n

Таким образом, контурные интегралы от всех слагаемых в правой части (2.44) обращаются в нуль, кроме случая m = n. Следовательно, обратное Z-преобразование определяется выражением

s nT 1 S z z n 1dz . (2.45)

д	2 j

Полученный интеграл вычислим с помощью теоремы о вычетах:

27

s nTд Resi S z ,						(2.46)
		i		S z z zi k z n 1	,
Resi S z lim	1		d k 1			(2.47)
z zi k 1 ! dzk 1

где k – кратность полюса.

Рассмотрим основные свойства Z-преобразования.

Линейность

Если X(z) и Y(z) являются Z-преобразованиями последовательностей {x(nТд)} и {y(nТд)}, то последовательности {a x(nТд) + b y(nТд)} соответствует Z-преобразование aX(z) + bY(z).

Теорема о задержке

Если последовательность {x(nТд)} имеет Z-преобразование X(z), то последовательности {x[(n-m)Тд]} соответствует Z-преобразование z m X z .

Теорема о свертке

Если X(z) и Y(z) являются Z-преобразованиями последовательностей {x(nТд)} и {y(nТд)}, то дискретной свертке

x n m Tд y mTд	y n m Tд x mTд	(2.48)
m	m

соответствует Z-преобразование X(z) Y(z).

Перечисленные свойства доказываются непосредственным вычислением Z-преобразования.

В таблице 2.1 в комплексной форме представлены, с одной стороны, односторонние сигналы и изображения по Лапласу, а с другой стороны односторонние дискретные сигналы и их Z-образы. В таблицу 2.2 помещены наиболее распространенные модели аналоговых и дискретных сигналов, а также Z-образы дискретных последовательностей.

28

Таблица 2.1 – Преобразование Лапласа аналоговых сигналов и Z-преобразование дискретных сигналов

Преобразование Лапласа

Z-преобразование

№

Оригиналы

Изображения

Дискретные

Z-образы

s(t)

S(p)

сигналы s(nTд)

S(z)

1

s t e pt dt

S p

s nTд

z n

S z

0

n 0

1 c j

s nTд

1

2

s t

S p e pt dp

S z

z n 1dz

2 j

2 j

c j

3

as1 t bs2 t

aS1 p bS2 p

as1 nTд bs2 nTд

aS1 z bS2 z

4

s t

S p e p

s n k Tд

S z z k

5

s t e

t

S p

s nT

Tд n

Tд

e

S z e

д

6

t s t

d

S p

n s nTд

z

d

S z

dp

dz

t

S1 p S2 p

n

s2 kTд

S1 z S2 z

s1 s2 t d

7

s1 n k Tд

0

k 0

8

lim h t = lim

pH p

lim h nTд = lim H z

t 0

p

n 0

z

9

lim h t =

lim pH p

lim h nTд = lim

1 z1

H z

t

p 0

n

z1

L S p

n

1

lim

d m 1

S p p p

m e pt

10

m 1 ! p pk dp m 1

k

k 1

Z S z

n

1

lim d m 1

S z z z

m zn 1

11

m 1 ! z zk dzm 1

k

k 1

Таблица 2.2 – Связь между дискретными сигналами и Z-образами

№

Односторонние

Односторонние

Z-образы

29

аналоговые

дискретные

S(z)

сигналы s(t)

сигналы s(nTд)

t

, t 0,

n

1, n 0,

1

0.

1

0, t 0.

0, n

2

t

1

1

sign t

n 1, n 0,1,2,...

z

z 1

2

2

3

t

nTд

Т д z

z 1 2

nTд 2

Т

2 z z 1

4

t2

д

z 1 3

nTд 3

Т 3 z z2 4z 1

5

t3

д

z 1 4

6

t

Tд

n

z

e

e

z e

Tд

T e Tд z

t

Tд n

д

7

te

nT

2

e

Tд

д

e

z

8

sin t

sin nTд

z sin Тд

z 2 2z cos Т

д

1

cos nTд

z z cos Тд

9

cos t

z 2 2z cos Тд

1

10

e

t

sin t

Tд

n

ze Tд sin Тд

e

sin nTд

z2 2ze Tд cos Тд e 2 Tд

n

Tд

t

Tд

z z e

cos Тд

cos nTд

11

e

cos t

e

z2 2ze Tд cos Т

e 2 Tд

д

30

3 ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ К ДИСКРЕТНОЙ ОБРАБОТКЕ СИГНАЛОВ

3.1Расчет спектральной плотности аналогового сигнала

Вкачестве примера рассмотрим прямоугольный импульс, изображенный на рисунке 3.1.

s(t)

Е

		t
0		То
	Рисунок 3.1 – Исходный аналоговый сигнал

Поинтервальное описание сигнала выглядит следующим образом:

Е, если 0 t ;
s t	0, если 0	t .

Для составления математической модели можно использовать функции Хевисайда:

s t E t E t .

Спектральная плотность прямоугольного импульса, изображенного на рисунке 3.1, равна

S E sin 2 е j 2 .2

Фазовый множитель е j 2 свидетельствует о сдвиге сигнала во временной области на 2 .

Для построения частотных характеристик спектральную плотность полезно нормировать относительно интервала описания сигнала Тос 2 .

S		E		sin	2	е j 2.
				2
Тос		2