3289-electrodinam

Значит, если tg >>1, то среда проводник, если tg <<1 — диэлектрик.

Таким образом, если в среде преобладает ток проводимости, то эта среда реальный проводник. Если же преобладает ток смещения, то это реальный диэлектрик. Разумеется, огромное количество сред нельзя отнести ни к тем, ни к другим.

1.4. Уравнения Максвелла

1.4.1. Уравнения Максвелла

вдифференциальной и интегральной форме

Вкомпактной форме операций векторного анализа запишем уравнения, которые заключают в себе основы теории электромагнетизма и являются ее постулатами:

=

∂

+

,

D

(1.1)

rotH

j

∂t

= −

∂

rot

B

,

(1.2)

E

∂t

div

= ρ ,

(1.3)

D

div

= 0 .

(1.4)

B

Сформальной точки зрения это дифференциальные уравнения

вчастных производных относительно компонент векторов поля

E, H , D, B , а также j и ρ. Формулы (1.1)–(1.4) — это уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

Значение уравнений Максвелла как основы теории электромагнетизма исключительно велико. Они явились результатом осмысления и обобщения огромного экспериментального материала, накопленного к концу девятнадцатого века. Необходимо подчеркнуть, что уравнения Максвелла справедливы в каждой точке пространства. В принципе, уравнения Максвелла дают возможность исследовать любые электромагнитные процессы. Надо лишь уметь правильно ставить соответствующие математические задачи, то есть

21

формировать математические модели, адекватные физической реальности, и решать их, привлекая при необходимости ЭВМ.

При первом знакомстве с уравнениями Максвелла кажется невероятным, чтобы эти несколько строчек содержали в себе все многообразие явлений электромагнетизма. Чтобы вполне осмыслить огромную физическую содержательность данных уравнений, надо изучить многие электромагнитные процессы. Впрочем, для уяснения основных черт физического содержания уравнений Максвелла будут представлены достаточно простые рассуждения.

С этой целью перейдем к уравнениям Максвелла в интегральной форме:

d

∫

,

(1.5)

∫ H

dl =

Dds + I

dt

L

S

∫

= −

d

∫

(1.6)

Edl

Bds ,

dt

L

S

∫

(1.7)

Dds = q ,

S

∫

(1.8)

Bds = 0.

S

Чтобы из формул (1.1), (1.2) получить (1.5), (1.6), рассмотрим некоторую поверхность S, «натянутую» на контур L. Взяв для определенности уравнение (1.1), проинтегрируем его левую и правую части по S:

∫rot H ds = ∫∂∂Dt ds + ∫ j ds.

S S S

Достаточно теперь к левой части применить теорему Стокса, заменив поток rot H через поверхность S циркуляцией H по контуру L, вынести операцию дифференцирования ∂∂t за знак первого интеграла справа и учесть, что второй интеграл справа согласно определению есть ток I, проходящий через поверхность S, чтобы получить (1.5). При этом производится замена символов

22

∂∂t → dd t , так как интеграл уже не является функцией координат.

Совершенно так же уравнение (1.6) получается из уравнения

(1.2).

Чтобы вывести равенство (1.7) из (1.3), левую и правую части уравнения (1.3) проинтегрируем по некоторому объему V, ограниченному поверхностью S:

∫div Ddv = ∫ρdv.

V V

Объемный интеграл от ρ дает полный заряд q, содержащийся в объеме V. Что касается левого объемного интеграла, то он на основании теоремы Остроградского – Гаусса преобразуется в поток вектора D через замкнутую поверхность S. Таким образом, уравнение (1.7) получено.

Уравнение (1.8) получается тем же путем из уравнения (1.4).

1.4.2. Первое уравнение Максвелла: полный ток и магнитное поле

Обсудим первое из уравнений Максвелла, привлекая и дифференциальную форму (1.1), и соответствующий интегральный аналог

(1.5).

Поскольку ротор составляется из пространственных производных компонент вектора, то, как видно из (1.1), изменение в пространстве магнитного поля (вектор H слева) связано с изменением электрического поля во времени (вектор D справа).

Пусть сначала изменений во времени нет: процесс стационарен. Тогда первое уравнение Максвелла принимает вид

rot H		=	j	, ∫ H dl = I					(1.9)
				L

и описывает связь магнитного поля с постоянным током. Нельзя себе представить ток без магнитного поля, поскольку при j ≠ 0

23

(I ≠ 0) обязательно rot H ≠ 0 (или отлична от нуля циркуляция H ),

а следовательно, H ≠ 0 .

Продолжим обсуждение первого уравнения Максвелла. Рассмотрим случай, когда ток проводимости отсутствует (I = 0), но процесс уже не стационарен (происходят изменения во времени). Из уравнения (1.5) видно, что циркуляция H , которая в случае постоянного тока была равна I, теперь оказывается равной величине

		d
	Iсм =		∫				= ∫	∂D		ds,	(1.10)
				DdS
		dt						∂t
			S				S

которая называется током смещения. Соответственно этому функ-

ция ∂∂Dt рассматривается как плотность тока смещения. Понятие о

нем уже было введено в подразделе 1.2.

Ток смещения — одно из важных понятий теории электромагнетизма. Во-первых, существенно, что по отношению к магнитному полю ток смещения как бы копирует роль обычного тока проводимости. Это видно из первого уравнения Максвелла, в котором ток проводимости и ток смещения (или их плотности) выступают равноправно. Во-вторых, следует учитывать, что физическая сущность тока смещения в вакууме никак не связана с движением зарядов.

Будем говорить, что вся правая часть уравнения Максвелла в интегральной форме (1.5) представляет собой полный ток Iсм + I .

В ток I могут входить токи проводимости, переноса и сторонние, которые также обсуждались в подразделе 1.2.

Величина ∂D∂t + j в (1.1) — плотность полного тока. В от-

сутствие магнитного поля ( H = 0) равен нулю и полный ток. Если полный ток существует, то обязательно присутствует магнитное поле.

Привлечем для дальнейшего анализа тождество div rot H ≡ 0 . Составляя дивергенцию от левой и правой частей уравнения (1.1), получаем

	∂
			D				= 0.	(1.10а)
	div	∂t		+ j

24

Отсюда следует, что вектор плотности полного тока ∂∂Dt + j не

имеет источников (стоков). Его векторные линии, следовательно, замкнуты или уходят из бесконечности в бесконечность.

Наконец, покажем, что первое уравнение Максвелла согласовано с законом сохранения заряда. Действительно, переписывая ра-

венство (1.10а) в виде ∂∂t (divD)+ div j = 0 (операции div и ∂∂t мы

имеем право поменять местами), а затем заменяя div D через ρ при помощи (1.3), получаем равенство div j = −∂ρ∂t , отражающее закон сохранения заряда.

1.4.3. Второе уравнение Максвелла: обобщенный закон электромагнитной индукции

Если для потока вектора В через поверхность S, называемого магнитным потоком, установить обозначение Ф, а для циркуляции вектора Е по контуру L использовать символ Э, то уравнение (1.6) примет вид

Э = − ddtФ,

где Э = ∫ Edl , Ф = ∫ Bds .

L S

В этой форме второе уравнение Максвелла совпадает с законом электромагнитной индукции Фарадея. Циркуляция Э предстает как электродвижущая сила, наводимая в контуре L изменением магнитного потока Ф.

Напомним, что закон Фарадея был установлен для проводящих (например, проволочных) контуров в магнитных полях. Закон электромагнетизма, выражаемый вторым уравнением Максвелла в интегральной форме, значительно шире указанного закона Фарадея, поскольку контур L в (1.6) — это любой мысленно очерченный в пространстве контур. Не имеет значения, какие именно материальные объекты оказались в области построения: это не нарушает

25

справедливости второго уравнения Максвелла. Столь общая постановка вопроса выходит далеко за пределы опытных фактов, на основе которых был сформулирован закон Фарадея. Второе уравнение Максвелла, однако, сохраняет идейную основу этого закона и может рассматриваться как обобщенный закон электромагнитной индукции.

1.4.4. Третье уравнение Максвелла: электрическое поле и заряды

Смысл третьего уравнения Максвелла (1.3), или (1.7), прост, поскольку он вполне исчерпывается содержанием понятий дивергенции и потока вектора. Линии вектора электрического смещения D начинаются на положительных и кончаются на отрицательных зарядах (знаки divD иρ совпадают).

Третье уравнение Максвелла в интегральной форме известно также под названием теоремы Гаусса. В качестве частного момента отметим, что согласно (1.7) поток вектора D через некоторую замкнутую поверхность S обращается в нуль не только при отсутствии зарядов внутри S, но и при их нейтрализации, когда полный положительный заряд уравновешивается отрицательным.

1.4.5. Четвертое уравнение Максвелла: непрерывность линий вектора B

Четвертое уравнение Максвелла (1.4), или (1.8), по форме отличается от третьего нулевой правой частью. Это указывает на отсутствие фактора, который можно было бы назвать «магнитным зарядом». Если все же формально ввести магнитный заряд qм с

плотностью ρм, то согласно (1.4), (1.8) qм = 0; ρм = 0.

Другими словами, магнитных зарядов в природе не существует.

26

В силу четвертого уравнения Максвелла магнитные силовые линии (линии вектора В) обязательно непрерывны, т.е. либо замкнуты, либо идут из бесконечности в бесконечность.

1.4.6. Заключительные замечания об уравнениях Максвелла

Во введении говорилось, что Максвелл воплотил в математической форме физические идеи Фарадея, предвосхищавшие представление об электромагнитном поле. Фарадей рассматривал силовые линии как некоторую физическую реальность. Однако Максвелл не только, употребляя современное выражение, формализовал взгляды Фарадея, но и внес в них существенно новое. Именно Максвелл ввел ток смещения. Выше уже было показано, что следствием первого и третьего уравнений Максвелла является закон сохранения заряда. В дальнейшем мы неоднократно будем убеждаться в особой важности представления о токе смещения. Что же касается самих уравнений Максвелла, то в их окончательное формирование внесли решающий вклад Герц и Хевисайд.

1.5. Граничные условия для электромагнитного поля

1.5.1. Постановка задачи

Основной задачей теории электромагнитного поля является нахождение его векторов в определенной области пространства при заданных условиях, которые отражают предварительные сведения об электромагнитном процессе. Задача имеет реальное физическое содержание, если эти сведения правильны и если они достаточны. При неправильных условиях, налагаемых на уравнения поля, можно получить решение, не соответствующее исследуемому процессу, или просто войти в противоречие с этими уравнениями. Решение, получаемое при недостаточных условиях, оказывается неопределенным.

27

Вопрос о том, какими сведениями надо располагать, чтобы найти поле в задаче того или иного типа, будет решаться по мере необходимости в последующих разделах. Пока же отметим, что для определения поля внутри области надо иметь некоторые данные о его характере на границе.

Особый интерес представляют границы разнородных сред, присутствующих в подавляющем большинстве практически интересных задач. Это границы между различными диэлектриками, границы между диэлектриками и проводниками, границы, на которых сосредоточены заряды или по которым протекают токи. Дальнейшее исследование посвящено определению с помощью уравнений Максвелла векторов электромагнитного поля вблизи таких границ. Результаты исследований формулируются в виде так называемых граничных условий, которые затем будут использоваться в задачах разного типа.

1.5.2. Нормальные и тангенциальные составляющие векторов

Пусть поверхность S — граница раздела двух сред, A — произвольно ориентированный вектор, начало которого находится

в точке М , n0 —		нормаль к поверхности, τ0 — касательный
				к поверхности S единичный вектор
An			A	(рис. 1.2).
				Векторы A, n0 , τ0 лежат в одной
n0
				плоскости. Тогда

S

τ0

Aτ

Рис. 1.2. Разложение вектора на тангенциальную и нормальную составляющие

A = n0 An + τ0 Aτ.

Таким образом, каждый вектор вблизи граничной поверхности может быть представлен в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих.

28

1.5.3. Граничные условия для нормальных составляющих электрического поля

Пусть S — граница раздела двух сред. Выберем на ней достаточно малый элемент S и построим на нем цилиндр высотой h , находящийся в обеих средах (рис. 1.3).

1-я среда		S1

	n0
h	S

S

2-я среда

S2

Рис. 1.3. К выводу граничных условий для нормальных составляющих векторов электромагнитного поля

Ось цилиндра совпадает с нормалью n0 . Размеры цилиндра ма-

лы, и поля в пределах его объема не меняются. Применим к полю в объеме цилиндра третье уравнение Максвелла в интегральной форме

∫ DdS = q ,

S

где S — вся поверхность цилиндра.

Представим весь поток вектора D в виде трех потоков — через боковую поверхность и поверхности оснований цилиндра:

∫

= ∫ρdV.

DdS + ∫ D1dS + ∫

D

2dS

Sбок

S1

S2

V

Здесь первый интеграл дает поток через боковую поверхность цилиндра, второй и третий интегралы — поток через основания цилиндра.

29

Устремим h → 0, тогда поток через боковую поверхность также устремится к нулю, следовательно, D1n0 S − D2n0 S = q, где

q — заряд, сосредоточенный на поверхности S .

Введем понятие поверхностного заряда. Будем полагать, что он сосредоточен в слое нулевой толщины.

Пусть ξ — плотность поверхностного заряда, определяемая соотношением

ξ = lim	q	.
S→0	S

Следовательно, при равномерном распределении заряда q = ξΔS.

Тогда

					(1.11)
D1n0 − D2n0 = ξ

или D1n − D2n = ξ — граничное условие для нормальной состав-

ляющей вектора электрического смещения. В векторной форме это условие выглядит следующим образом:

ξ = n0 (D1 − D2 ).

Таким образом, нормальная составляющая вектора D на границе раздела двух сред терпит разрыв, равный поверхностной плотности заряда.

Рассмотрим два частных случая.

1.Граница двух идеальных диэлектриков. В этом случае нет свободных зарядов, т.е. ξ = 0, следовательно, D1n = D2n .

2.Граница «идеальный диэлектрик – идеальный проводник».

Поле в идеальном проводнике равно нулю, значит, D2n = 0 и

D1n = ξ или ξ = (n0 , D).

Таким образом, для отыскания поверхностной плотности заряда достаточно определить нормальную компоненту вектора электрического смещения на границе с проводником.

30