- •А.В. Румянцев
- •Содержание
- •Глава 6. Программная реализация метода
- •Глава 1. Краевые задачи теории поля
- •1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
- •1.2 Краевые условия задачи
- •1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи
- •Глава 2. Метод конечных элементов в краевых
- •2.1 Методы взвешенных невязок
- •2.2 Основная концепция метода конечных элементов
- •Глава 3. Геометрические аспекты мкэ
- •3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов
- •3.2 Дискретизация области на элементы
- •А) с разными (вид сверху); б) с одинаковыми.
- •Цифры – это номер элемента по каталогу
- •3.3 Нумерация элементов и узлов
- •3.4 Индексация узлов и формирование таблицы входных данных
- •Осесимметричной детали
- •Геометрическая часть таблицы входных данных
- •Глава 4. Математическое описание элемента
- •4.1 Метод Крамера
- •4.2 Метод Лагранжа
- •4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа
- •4.4 Эрмитовы элементы
- •4.5 Свойства базисных функций элемента
- •Глава 5. Вычислительные аспекты мкэ
- •5.2 Матричное представление элементного вклада
- •Производные базисных функций
- •5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области
- •А) Сокращенная
- •5.4 Стандартизация матриц элементов
- •5.5 Естественная система координат
- •5.6 Средние температуры элемента
- •Глава 6. Программная реализация мкэ
- •6.1 Задание краевых условий задачи
- •6.2 Решение системы динамических уравнений
- •Временная циклограмма q(τ)
- •6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
- •6.4 Радиационный компонент теплообмена
- •6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность
- •Базовый каталог объемных элементов
- •Осесимметричные объемные элементы
- •Базовый каталог одно- и двумерных элементов
3.3 Нумерация элементов и узлов
Элементы, на которые разбита конструкция, необходимо индивидуализировать, что проще всего достигается присвоением ему номера . Он никак не связан с номеромэлемента по каталогу, фиксирующим его геометрию. Нумерация элементов не влияет на вычислительные аспекты МКЭ и поэтому представляет собой простую процедуру, опирающуюся на естественное пожелание удобства при пользовании. Очевидно, что элементы, относящиеся к частям конструкции при укрупненном ее расчленении, должны
иметь последовательную нумерацию. Номер элемента будем заключать в круглые скобки – – во избежание путаницы с номером(по каталогу) и с номерами узлов.
Нумерация узлов существенно влияет на эффективность вычислений. Применение МКЭ к решению дифференциального уравнения приводит к системе алгебраических уравнений (необязательно линейных), большое число коэффициентов в которой равно нулю. Все ненулевые коэффициенты (и некоторые нулевые) в глобальной матрице коэффициентов находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали. Расстояние между главной диагональю и этими линиями называется шириной полосы матрицы. Все коэффициенты вне этой полосы равны нулю, и они не заносятся в память ЭВМ (это одно из преимуществ МКЭ). Уменьшение ширины полосы приводит к уменьшению требуемого объема памяти и к сокращению времени вычислений.
В конкретных расчетах структура
матрицы может быть представлена набором целочисленных пар , каждая из которых означает пару переменных (т.е. номера строки и столбца). Полуширина М матрицы определя-
ется при этом максимумом величины , взятой по всем-элементам матрицы [3]:
. (3.3.1)
При работе с векторными величинами (например, скорость или перемещение в узле), величину нужно умножить на числонеизвестных в узле (число компонент векторной величины). В общем случае:
. (3.3.2)
Для скалярной величины, такой как температура, очевидно, .
Объем памяти, необходимой для профильной записи матрицы, определяется формулой:
. (З.3.3)
Правильной нумерацией узлов, очевидно, будет та, которая минимизирует либо полуширину , либо профиль, в зависимости от предполагаемой формы
записи. В большинстве случаев минимизация минимизирует и.
На рис. 3.4 представлены различные варианты нумерации узлов (и элементов). Сопоставление получаемых показывает предпочтительность последнего варианта, в котором обеспечивается наименьшая из максимальных разница между номерами узлов, принадлежащих одному элементу. Это достигается последовательной нумерацией узлов при движении в направлениинаименьшего размера тела. Если от четырехугольных элементов перейти к треугольным, то при правильной нумерации меньшие получаются при проведении левой диагонали, как показано на рис. 3.3. Переход к треугольным элементам лишь удваивает число элементов, не
Рис. 3.4 К вопросу нумерации узлов
сказываясь на количестве узлов. Как уже указывалось, нумерация элементов носит произвольный характер, так как формирование глобальных матриц из матриц элементов осуществляется по номерам узлов, а не элементов.