1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи

Классификация методов решения тесно связана с видом математической

формулировки задачи теплопроводности. Кроме того, их можно разделить по общим

признакам на три большие группы: точные аналитические, приближенные аналити- ческие и численные методы.

Аналитические методы позволяют получить функциональные зависимости для распределения температуры и проанализировать влияние различных факторов на тем-

пературное поле исследуемого объекта [20 –24]. Для математической формулировки задачи в виде дифференциального уравнения теплопроводности и соответствующих краевых условий определение температурного состояния тела связано с непосредственным решением этого уравнения. Возможности точных аналитических методов в этом случае ограничены, как правило, решением линейных задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики материала не зависят от температуры, а граничные условия выражается линейной комбинацией температуры и ее градиента на поверхности тела. Сферу применения точных аналитических методов удается расширить путем линеаризации нелинейных задач. Однако при этом погрешности, внесенные в математическую формулировку при линеаризации, в некоторых случаях могут быть настолько существенными, что приведут к большим количественным ошибкам, а иногда исказят и физический смысл полученного решения [44].

Точное аналитическое решение нелинейных задач теплопроводности обычно возможно лишь при определенных сочетаниях зависимостей теплофизических характеристик материала тела от температуры [26]. Возможности точных аналитических методов в случае анизотропности теплофизических свойств крайне ограничены. Наконец, эти методы приложимы к получению и исследованию температурного поля тел (конструкций) простой геометрической формы (пластина, цилиндр, шар) и лишь при осесимметричных граничных условиях. Тем самым, задание локальных граничных условий, наиболее часто встречающихся в реальных конструкциях, из рассмотрения исключается.

_________________________________________________________________________

٭ Этот пункт может быть опущен читателем, знакомым с методами решения краевых задач, без ущерба для понима­ния последующего материала.

Для приближенного аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений теплопроводности разработаны методы последовательных приближений (простой итерации [24] или усреднения функциональных поправок [24]), возмущений (малого параметра), различные асимптотические и вариационные методы [20, 24].

Инженерные методы расчета температурных полей конструкций (или их элементов) сочетают в себе как приближенные аналитические, так и численные методы [19, 31, 36, 44, 52].

Методы численного решения являются приближенными, так как они базируются на переходе от непрерывной (континуальной) математической модели процесса теплопроводности к приближенной дискретной модели. Однако выбор параметров дискретной модели позволяет регулировать степень приближения, а гибкость и универсальность численных методов в сочетании с удобством их реализации на ЭВМ дает возможность получать приемлемые для инженерной практики результаты.

С точки зрения достоверности определения температур элементов конструкции и возможностей учета влияния всех существенных факторов, наиболее эффективными являются численные методы. Совершенствование и распространение вычислительной техники превращают эти методы в удобный, а, зачастую, и единственный инструмент анализа тепловых режимов конструкций и агрегатов различного назначения на стадиях их проектирования и экспериментальной отработки [31, 38, 47, 48, 50– 52].

Численные методы базируются, как правило, на уравнении переноса, представленном в дифференциальной или в интегральной формах. Различия между ними состоят в способе использования уравнения и краевых условий. Одними из широко распространенных являются методы, основанные на конечно-разностной аппроксимации уравнения и граничных условий. Однако по точности они уступают численным методам решения нелинейных интегральных уравнений [24].

При решении тепловых задач комплексного проектирования объектов космической техники широко используется так называемый метод изотермических элементов (метод алгебраического приближения), основанный на системе уравнений элементарного баланса тепловых потоков в дискретной модели конструкции, состоящей из теплоемких масс и теплопроводящих стержней (элементов) [32, 45 – 52]. Достоинство метода – исключительная геометрическая гибкость; недостаток – сложность расчета кондуктивных связей между элементами и, главное, отсутствие полной физической адекватности исследуемому процессу переноса (игнорирование контактного термического сопротивления на границе между элементами).

Задание 1

1.1 Получите выражения уравнения переноса (1.1.14) в декартовой,

цилиндрической и сферической системах координат – S = 1,2,3.

1.2 Проделайте эту же операцию для граничных условий (1.2.7).