5.6 Средние температуры элемента

Как будет показано в следующей главе, учет температурной зависимости

теплофизических параметров, расчет конвективного и радиационного компонент теплообмена требуют знания средних – объемной и поверхностной –температур элемента. Они определяются, как известно, формулами:

; , (5.5.1)

где -номер поверхности.

С учетом версии МКЭ:

стандартизованные выражения для средних температур конкретного элемента каталога будут следующими:

; . (5.5.1)

После интегрирования согласно (5.5.1) стандартизованные соотношения для средних температур элементов каталога программируются.

Сопоставляя (5.5.1) с (5.2.7) и (5.2.8), видим, что средние температуры фактически уже найдены, поскольку интегралы в сравниваемых выражениях одинаковы. В (5.5.1) достаточно внести лишь объем элемента и площади -x поверхностей.

В заключение укажем, что базисные функции элемента должны удовлетворять не только сформулированным в п. 4.4 необходимым условиям, но и достаточным:

, , (5.5.2)

которые должны выполняться одновременно. В задачах теплопроводности достаточность условий (5.5.2) (второе из них может рассматриваться как нормировочное) вытекает из следующих физических соображений: объемная нагрузка независимо от характера – равномерного или неравномерного – ее распределения по узлам может быть только положительной, а сумма узловых нагрузок должна равняться величине объемной нагрузки элемента в целом. К этим же выводам можно прийти и анализируя формулы (5.5.1) для средних температур.

Задание 5

5.1 Получите базисные функции всех элементов каталога.

5.2 Получите все стандартизованные матрицы второго, третьего и шестого элементов каталога, используя -координаты.

5.3 Найдите среднеповерхностные температуры одного из элементов каталога.

Глава 6. Программная реализация мкэ

Формой реализации метода конечных элементов как численного метода решения краевой задачи теории поля является вычислительная программа, представляющая собой задаваемую ее алгоритмом последовательность стандартных процедур. В предшествующих главах были описаны методы и способы стандартизации отдельных вычислительных аспектов программы по реализации МКЭ. В данной главе рассмотрен завершающий этап построения программы – получение системы алгебраических уравнений, позволяющей определить поле значений искомой величины, в частности, температуры. В последних трех пунктах главы затронуты некоторые вопросы методического характера.

6.1 Задание краевых условий задачи

В пятой главе была описана методика получения стандартизованных матриц элемента, которые заносятся в программу. В качестве множителей эти матрицы содержат величины, которые либо отражают свойства элемента – объемная теплоемкость и коэффициенты теплопроводности в соответствующих матрицах, либо задаются граничными условиями задачи: коэффициент конвективного теплообмена и комплексный коэффициентв поверхностных компонентах стандартизованной матрицы теплопроводности (см. (5.2.3)) и вектора тепловой нагрузки (см. (5.2.8)), соответственно.

Введенный в п. 1.2 комплексный коэффициент (см.(1.2.8)) описывал сложный теплообмен на границах элемента и объединял три его компонента:

, , (6.1.1)

где – число ограничивающих элемент поверхностей.

Объединение физически разнородных механизмов в было произведено чисто математически на том основании, что все поверхностные компоненты, образующие вектор тепловой нагрузки, описываются единой формулой (5.2.8).

Задать граничные условия – это значит указать геометрическую, физическую и количественную характеристики поверхностного теплообмена. Геометрическая характеристика сводится к указанию поверхности элемента, на которой осуществляется тот или иной вид теплообмена; физическая описывает механизм (компонент – ) теплообмена;количественная – его интенсивность.

В целях стандартизации процедуры задания граничных условий для элементов базового каталога, поверхностям каждого его элемента присвоены номера 1, 2, 3, 4, 5, 6, а его узлам – индексы . Это позволяет задавать поверхность, на которой осуществляется теплообмен, не индексами принадлежащих ей узлов, а присвоенным ей в каталоге номером, что существенно сокращает объем вводимой информации. Процедура задания граничных условий представлена в таблице 4.

Таблица 4

Таблица входных данных (=0)

Номер элемента			Ин- декс и глоб. номер узла	Координаты узлов			Конв- ектив- ный т/о	Ради- ацион- ный т/о	По- верх- ност- мощ- ность	Объ- ем- ная мощ- ность	Век- тор нач. тем- пера- тур
Гло- баль- ный	Физ. ка- та- лог	Баз. ка- та- лог		ξ1	ξ2	ξ3
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
e	eфк	e^kei	i j . . . q	Xi Xj . . . Xq	Yi Yj . . . Yq	Zi Zj . . . Zq	α1 α2 . . . α6	S1 S2 . . . S6	q1 q2 . . . q6	w	{T0}
12	9	7	1 3 7 6 2				250 128		580 322	6300	293

Радиационный компонент содержит степень черноты поверхности , величи-

на которой (и ее температурная зависимость) занесена в физический каталог. Поэтому при задании граничных условий достаточно указать лишь номер поверхности элемента, на которой осуществляется радиационный теплообмен, не приводя самого значения , – оно определяетсяномером элемента по физическому каталогу.

Граничные условия для каждого элемента вводятся в расширенную таблицу входных данных, содержащую в себе и ее геометрическую часть (cм. стр. 40).

В таблице 4 наряду с граничными условиями – позиции 8, 9, 10, указаны элементы с объемным источником (стоком) тепла – поз. 11, и начальное условие – поз. 12, т.е. вектор значений среднеобъемных температур элементов, задаваемых пользователем программы по тем или иным соображениям. Лишь базируясь на таблице входных данных, стандартизованные матрицы элемента можно превратить в числовые. Тем самым числовыми становятся и глобальные матрицы.

В общем случае объемная тепловая нагрузка зависит от времени, так как является активным элементом в системе обеспечения теплового режима (СОТР) объекта [49 – 52]. При релейном управлении она задается в программе отдельной временной циклограммой.

Внешний тепловой поток обычно тоже является функцией времени вследствие его ориентационной зависимости при движении объекта, например, космического аппарата по орбите [32]. Зависимостьможет задаваться аналитически или временной циклограммой, как это показано в таблице 5.