4.2 Метод Лагранжа

Достоинство первого способа состоит в его применимости к любым элементам независимо от их размерности и количества узлов. С его помощью при известном в явном виде аппроксимирующем полиноме -го ранга базисные функции в принципе всегда могут быть найдены, так как матрица типа (4.1.2) обратима, поскольку ее определитель (4.1.3) отличен от нуля, – площадь или объем элемента никогда не равны нулю. Универсальность метода Крамера нивелируется его неэффективностью при числе узлов элемента.

К элементам, образованным координатными линиями, целесообразно применять более простой метод Лагранжа.

Рассмотрим аппроксимацию функции полиномом-го ранга, считая, что значения функции заданы каквточках. Из численного анализа известно, что функция может быть задана как полином -ой степени:

, (4.2.1)

где – полином Лагранжа, определяемый равенством:

. (4.2.2)

Если под понимать аппроксимирующую элементную функцию , то из сопоставления (4.2.1) с (2.2.1) видно, что полиномы Лагранжа – это базисные функции элемента, а базовые точки –координаты его узлов, или узловые точки.

Проиллюстрируем метод Лагранжа на примере изображенного на рис. 4.4 элемента, образованного координатными линиями декартовой системы [4].

Использование равенств (4.2.1) и (4.2.2) на стороне 1–2 (y=const), позволяет определить u(x) на этой стороне:

,

где ;;

Аналогично на стороне 4–3 получим:

.

Применяя эти же рассуждения для сторон с , найдем:

, где ;.

Собирая полученные выражения, для аппроксимирующей функции элемента будем иметь:

Видно, что попарные произведения полиномов Лагранжа соответствуют базисным функциям элемента:

; ;

; .

Здесь – площадь элемента.

Обобщая эти соотношения на трехмерный элемент – координатную ячейку, придем к его математическому описанию в виде произведения трех лагранжевых полиномов, справедливому при любом :

, p ≠ q, (4.2.4)

где ξ_i – текущая переменная; ζ_i – координаты q-го и p-го узлов; p – индексы узлов, с которыми узел q расположен на координатных поверхностях .

Как следует из (4.2.4), методом Лагранжа легко получить базисные функции всех элементов каталога, кроме второго, шестого и седьмого.

4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа

Особенность 2-го, 6-го и 7-го элементов в том, что они лишь частично образуются координатными поверхностями системы. Поскольку число их узлов , применять к ним универсальный метод Крамера нецелесообразно. Возможен другой, более эффективный способ, сочетающий методы Крамера и Лагранжа.

Введем иерархию элементов, подразделив их на порождающие с , ипорождаемые с . Порождение элемента можно осуществитьтрансляцией порождающего элемента в общем случае в произвольном направлении, или его поворотом вокруг некоторой оси на угол – дляограниченно симметричных, или на – дляосесимметричных элементов. В результате размерность порожденного элемента увеличится на единицу.

Так как порождающий элемент не образован координатными поверхностями, то его базисные функции находятся методом Крамера при , а затем к нему применяется метод Лагранжа, который равнозначен операциям трансляции или поворота. В силу этого, достаточнобазисные функции порождающего двумерного элемента умножить на полином Лагранжа в направлении орта трансляции, чтобы получить базисные функции порожденного объемного элемента :

, . (4.3.1)

Применяя обобщенный метод Крамера-Лагранжа ко второму элементу каталога, для его базисных функций получим следующее выражение:

, при (4.3.2)

где – базисные функции (4.1.7) треугольного элемента; а полиномы Лагранжа равны:

; . (4.3.3)

Эти же формулы описывают и седьмой элемент базового каталога, если в

базисных функциях переменныезаменить на , а в полиноме Лагранжа –на:

. (4.3.4)

У шестого элемента на полиномы Лагранжа умножаются лишь базисные функции узлови.

Все полностью симметричные элементы базового каталога относятся к порожденным поворотом на порождающих их двумерных элементов. В силу того, что при этом, базисные функции порожденных и порождающих их элементов идентичны.