- •А.В. Румянцев
- •Содержание
- •Глава 6. Программная реализация метода
- •Глава 1. Краевые задачи теории поля
- •1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
- •1.2 Краевые условия задачи
- •1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи
- •Глава 2. Метод конечных элементов в краевых
- •2.1 Методы взвешенных невязок
- •2.2 Основная концепция метода конечных элементов
- •Глава 3. Геометрические аспекты мкэ
- •3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов
- •3.2 Дискретизация области на элементы
- •А) с разными (вид сверху); б) с одинаковыми.
- •Цифры – это номер элемента по каталогу
- •3.3 Нумерация элементов и узлов
- •3.4 Индексация узлов и формирование таблицы входных данных
- •Осесимметричной детали
- •Геометрическая часть таблицы входных данных
- •Глава 4. Математическое описание элемента
- •4.1 Метод Крамера
- •4.2 Метод Лагранжа
- •4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа
- •4.4 Эрмитовы элементы
- •4.5 Свойства базисных функций элемента
- •Глава 5. Вычислительные аспекты мкэ
- •5.2 Матричное представление элементного вклада
- •Производные базисных функций
- •5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области
- •А) Сокращенная
- •5.4 Стандартизация матриц элементов
- •5.5 Естественная система координат
- •5.6 Средние температуры элемента
- •Глава 6. Программная реализация мкэ
- •6.1 Задание краевых условий задачи
- •6.2 Решение системы динамических уравнений
- •Временная циклограмма q(τ)
- •6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
- •6.4 Радиационный компонент теплообмена
- •6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность
- •Базовый каталог объемных элементов
- •Осесимметричные объемные элементы
- •Базовый каталог одно- и двумерных элементов
Глава 5. Вычислительные аспекты мкэ
В третьей и четвертой главах были рассмотрены первые два этапа применения МКЭ к решению краевых задач – построение сетки из конечных элементов и получение их базисных функций. В данной главе описаны и, по возможности, проиллюстрированы на конкретных примерах математические процедуры, приводящие к получению расчетных, т.е. программируемых соотношений метода.
5.1 Общее решение краевой задачи методом Галеркина
В рамках метода конечных элементов решение уравнения переноса (1.1.14) можно найти с помощью его вариационной версии или версии метода взвешенных невязок, в частности, метода Галеркина.
В первом случае требуется предварительно сконструировать функционал [2, 3, 4], обладающий экстремальными свойствами, что существенно снижает эффективность вариационного подхода. К тому же функционал, адекватный решаемой задаче, может отсутствовать вообще или не минимизировать искомую функцию в узловых точках. Отсутствие жестких правил регламентации оставляет открытым вопрос о правильности построенного функционала вплоть до стадии проверки размерности получаемых на его основе расчетных соотношений метода. Указанные недостатки наглядно проявляются при работе в системе координат с порядком симметрии [1, 14].
Отсутствие процедуры формирования функционала и использование непосредственно дифференциального уравнения делает методы взвешенных невязок более предпочтительными, особенно если учесть возможность получения с их помощью решения, содержащего варьируемый параметр , т.е. найти общее решение уравнения, справедливое в любой системе координат. 0бщее решение задачи получим с помощью метода Галеркина, для чего достаточно, как указывалось в п. 2.2, найти его для отдельного элемента (см. (2.2.2)).
Уравнение переноса (1.1.14) и граничное условие (1.2.7) к нему должны быть записаны для произвольного элемента, что легко достигается приписыванием всем входящим в них функциям и параметрам индекса , указывающего номер элемента. Запишем аппроксимирующую функцию элемента в более удобной матричной форме:
, , (5.1.1)
где [] – матричная строка размером, элементами которой являются базисные функции в узлах элемента;{(ζi)}−вектор-столбец размером значений искомой функции в узлах элемента;− число принадлежащих элементу узлов,ξi , ζi – текущие переменные и координаты узлов, соответственно (i=1,2,3). В дальнейших выкладках для краткости записи индекс e опускаем.
Согласно методу Галеркина приближенное решение уравнения переноса (1.1.14) для элемента в общем виде будет описываться выражением (2.2.2), в которое внесен дифференциальный оператор (1.1.14):
, (5.1.2)
где – вектор-столбец базисных функций для элемента сузлами.
Соотношение (5.1.2) содержит дифференциальный оператор 2-го порядка, что не позволяет использовать линейные базисные функции, математически описывающие элементы базового каталога. С целью понижения порядка оператора выразим вторую производную функции по обобщенной переменнойследующим образом:
. (5.1.3)
Первое слагаемое в (5.1.2) на основании (5.1.3) представим в виде:
. (5.1.4)
Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гаусса, заменим в (5.1.4) первый интеграл по объему интегралом по поверхности,охватывающей объем элемента:
.
Подинтегральное выражение в поверхностном интеграле выразим из предварительно умноженного на граничного условия (1.2.7):
.
Используя версию МКЭ (5.1.1), можем написать:
; .
Подставляя полученные путем указанных преобразований результаты в уравнение (5.1.2), решение задачи для элемента e запишем в общем виде:
(5.1.5)
, .
Найденное методом Галеркина общее решение (5.1.5) справедливо для элемента любой размерности и геометриис произвольнымr числом узлов. При вариационном же подходе функционал необходимо конструировать для каждой из систем координат отдельно.
Решение для всей области определения получается суммированием по всем E-элементам элементных вкладов: .