- •А.В. Румянцев
- •Содержание
- •Глава 6. Программная реализация метода
- •Глава 1. Краевые задачи теории поля
- •1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
- •1.2 Краевые условия задачи
- •1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи
- •Глава 2. Метод конечных элементов в краевых
- •2.1 Методы взвешенных невязок
- •2.2 Основная концепция метода конечных элементов
- •Глава 3. Геометрические аспекты мкэ
- •3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов
- •3.2 Дискретизация области на элементы
- •А) с разными (вид сверху); б) с одинаковыми.
- •Цифры – это номер элемента по каталогу
- •3.3 Нумерация элементов и узлов
- •3.4 Индексация узлов и формирование таблицы входных данных
- •Осесимметричной детали
- •Геометрическая часть таблицы входных данных
- •Глава 4. Математическое описание элемента
- •4.1 Метод Крамера
- •4.2 Метод Лагранжа
- •4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа
- •4.4 Эрмитовы элементы
- •4.5 Свойства базисных функций элемента
- •Глава 5. Вычислительные аспекты мкэ
- •5.2 Матричное представление элементного вклада
- •Производные базисных функций
- •5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области
- •А) Сокращенная
- •5.4 Стандартизация матриц элементов
- •5.5 Естественная система координат
- •5.6 Средние температуры элемента
- •Глава 6. Программная реализация мкэ
- •6.1 Задание краевых условий задачи
- •6.2 Решение системы динамических уравнений
- •Временная циклограмма q(τ)
- •6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
- •6.4 Радиационный компонент теплообмена
- •6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность
- •Базовый каталог объемных элементов
- •Осесимметричные объемные элементы
- •Базовый каталог одно- и двумерных элементов
1.2 Краевые условия задачи
В задачах теории поля единственность решения уравнения переноса (1.1.14) обеспечивается заданием краевых условий задачи: начального поля искомой величины в момент времени, выбранный за нулевой :
, (1.2.1)
и граничных условий, которые в задачах теории поля чаще всего формулируются в виде следующих условий на границе (или ее части) области определения задачи:
а) задано поле температур−так называемое главное граничное условие:,; (1.2.2)
б) задано обобщенное условие сложного теплообмена [1] − или естественное граничное условие:
, (1.2.3)
входящие в (1.2.3) слагаемые описывают теплообмен: - кондуктивный;-конвективный (на внешнихи внутреннихповерхностях элемента);− радиационный (внешний и внутренний);− внешний поверхностный источник тепла, зависящий в общем случае от времени. Поверхностьпредставляет собой-й участок внешней или внутренней границ, и в совокупности образует oбe границы области в целом (в случае ее многосвязности).
В задачах теплопроводности принято граничные условия задачи подразделять на четыре рода, а именно:
1-го рода – Т(хi,τ) = f(хi), при этом функция может быть задана в виде константы, например, Т(хi,τ) = Тс;
2-го рода – (qλ + qc)Si = 0; где qc – внешний поверхностный источник энергии (Вт/м2), чаще всего равный константе; кондуктивный компонент описывается законом Фурье;
3-го рода – (qλ + qα)Si = 0; связывает кондуктивный и конвективный удельные потоки на поверхности Si; конвективный компонент описывается законом Ньютона;
4-го рода – полагаются непрерывными температурные поля и удельные тепловые потоки на границе раздела двух сред: Тi(xi)Sk = Tj(xj)Sk; qλi(xi)Sk = qλj(xj)Sk.
По определению граничное условие – это условие энергетического сопряжения на внешней поверхности тела при наличии двух (трех) механизмов теплообмена или на границе раздела двух сред. По сути – это условия теплового баланса на поверхности раздела.
Кондуктивный компонент описывается законом Фурье и в обобщенной криволинейной системе координат согласно (1.1.5) имеет вид:
. (1.2.4)
Конвективный компонент в аналитической теории теплопроводности обычно выражают законом Ньютона [20]:
, (1.2.5)
где – коэффициент теплообмена при естественной или смешанной конвекциях, вопросам расчета которого посвящена обширная литература [19–29], но в аналитической теории теплопроводности он полагается заданным в виде некоторого числа; Тср.– температура среды или теплоносителя.
Радиационный компонент нелинейно зависит от температуры и, согласно закону Стефана-Больцмана [30]:
, (1.2.6)
где− полусферическая интегральная степень черноты поверхности;= 5,67·10-8 Вт/м2К4 – постоянная Стефана-Больцмана.
Запишем естественное граничное условие (1.2.3) с учетом (1.2.4)−(1.2.6) в обобщенном виде:
, (1.2.7)
где под понимается величина:
. (1.2.8)
В целях линеаризации граничного условия радиационный компонент зачастую представляют в виде, аналогичном конвективному компоненту [20, 24, 32]:
,
где , и затем объединяют с конвективным компонентом, вводя суммарный коэффициент теплообмена . Величинурассчитывают, полагая− некоторой характерной температуре изучаемого процесса [32]. Если при описании внешнего радиационного теплообмена с такой процедурой линеаризации можно согласиться, то для внутреннего теплообмена подобная замена нежелательна, так как в этом случае радиационный компонент рассчитывается с учетом оптико-геометрического фактора – средних разрешающих угловых коэффициентах излучения, обусловленного взаимным расположением теплообменивающихся поверхностей и их степеней черноты.