Глава 2. Метод конечных элементов в краевых

ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Метод конечных элементов является численным методом и основан на замене объекта (конструкции или ее части) совокупностью подобластей (элементов), для каждой из которых отыскивается приближенное решение задачи теплообмена. Это означает, что для каждого элемента необходимо записать дифференциальное уравнение переноса и граничные условия, характеризующие процессы теплообмена на граничных поверхностях именно этого элемента, и затем получить решение в том или ином виде. Объединение "элементных" решений по определенному правилу дает решение задачи для объекта в целом. В этой главе будет изложена основная концепция МКЭ.

2.1 Методы взвешенных невязок

Большая группа методов приближенного решения дифференциальных

уравнений базируется на математической формулировке, связанной с

интегральным представлением взвешенной невязки. Эту группу методов называют методами взвешенных невязок [4, 12, 13].

Пусть имеется дифференциальное уравнение и граничное условие к нему:

, , (2.1.1)

, . (2.1.2)

Здесь L−дифференциальный оператор; x_i − пространственные координаты; V и S − объем и внешняя граница исследуемой области; u₀– точное решение.

Будем считать, что некоторая функция u также является решением уравнения, и оно может быть аппроксимировано набором функций :

, (2.1.3)

при этом коэффициенты − неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры.

В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов. На первом этапе подстановкой приближенного решения (2.1.3) в уравнение (2.1.1) находится функция ошибка, или невязка, которая характеризует степень отличия отточного решения :

. (2.1.4)

В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты иМ по-прежнему неизвестных коэффициентов .

На втором этапе на функцию невязки (2.1.4) накладываются требования, которые минимизируют или саму невязку (метод коллокаций), или взвешенную невязку (метод наименьших квадратов и метод Галеркина).

В методе коллокаций полагают, что дифференциальное уравнение удовлетворяется только в некоторых выбранных (произвольно) точках − точках коллокаций , количество которых равно числу неизвестных коэффициентов. В этихМ точках невязка должна равняться нулю, что приводит к системе М алгебраических уравнений для М коэффициентов :

. (2.1.5)

В методах взвешенной невязки сначала формируют взвешенную невязку путем ее умножения на некоторые весовые функции , а затем минимизируют ее в среднем:

. (2.1.6)

В методе наименьших квадратов − методе Рэлея-Ритца − в качестве весовой функции выбирается сама ошибка, т.е. , и требуется, чтобы полученная таким способом величина (функционал) была минимальна:

. (2.1.7)

Для этого должно выполняться условие:

, (2.1.8)

приводящее к системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов.

В методе Галеркина в качестве весовых функций берутся сами функции , называемые базисными, и требуется их ортогональность невязке :

. (2.1.9)

Если − линейный оператор, то система (2.1.9) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов.

Рассмотрим метод Галеркина на конкретном примере [4]. Дано уравнение на промежутке :

,

с граничными условиями: , .

Возьмем аппроксимирующую функцию в следующем виде:

,

удовлетворяющей граничным условиям (2.1.2) при любых . На первом этапе находим невязку:

.

Выполним процедуру второго этапа:

, .

Интегрирование приведет к системе двух уравнений:

,

решением которых будут следующие значения :;. Приближенное решение имеет вид:.

Сопоставление приближенных результатов, полученных различными методами, с точным решением дано в таблице 1.

Таблица 1

x	u приближенное			u точное
	метод кол- локаций	метод Ритца	метод Галеркина
0,25	0,045	0,043	0,0440	0,044014
0,50	0,071	0,068	0,0698	0,069747
0,75	0,062	0,059	0,0600	0,060056

Из таблицы 1 видно, что при одинаковых во всех методах аппроксимирующих функциях наилучшее приближение к точному решению обеспечивает метод Галеркина. Кроме того, этот метод применим при решении и нелинейных задач, включая те, для которых не существует функционала, необходимого при использовании метода Рэлея-Ритца.