- •А.В. Румянцев
- •Содержание
- •Глава 6. Программная реализация метода
- •Глава 1. Краевые задачи теории поля
- •1.1 Уравнение переноса в обобщенной криволинейной системе координат
- •1.2 Краевые условия задачи
- •1.3* Краткая характеристика методов решения краевой задачи
- •Глава 2. Метод конечных элементов в краевых
- •2.1 Методы взвешенных невязок
- •2.2 Основная концепция метода конечных элементов
- •Глава 3. Геометрические аспекты мкэ
- •3.1 Типы конечных элементов. Базовый каталог элементов
- •3.2 Дискретизация области на элементы
- •А) с разными (вид сверху); б) с одинаковыми.
- •Цифры – это номер элемента по каталогу
- •3.3 Нумерация элементов и узлов
- •3.4 Индексация узлов и формирование таблицы входных данных
- •Осесимметричной детали
- •Геометрическая часть таблицы входных данных
- •Глава 4. Математическое описание элемента
- •4.1 Метод Крамера
- •4.2 Метод Лагранжа
- •4.3 Обобщенный метод Крамера-Лагранжа
- •4.4 Эрмитовы элементы
- •4.5 Свойства базисных функций элемента
- •Глава 5. Вычислительные аспекты мкэ
- •5.2 Матричное представление элементного вклада
- •Производные базисных функций
- •5.3 Формирование глобальных матриц для исследуемой области
- •А) Сокращенная
- •5.4 Стандартизация матриц элементов
- •5.5 Естественная система координат
- •5.6 Средние температуры элемента
- •Глава 6. Программная реализация мкэ
- •6.1 Задание краевых условий задачи
- •6.2 Решение системы динамических уравнений
- •Временная циклограмма q(τ)
- •6.З Учет температурной зависимости теплофизических параметров
- •6.4 Радиационный компонент теплообмена
- •6.5 Сходимость, полнота и согласованность, точность
- •Базовый каталог объемных элементов
- •Осесимметричные объемные элементы
- •Базовый каталог одно- и двумерных элементов
Базовый каталог объемных элементов
Осесимметричные объемные элементы
Базовый каталог одно- и двумерных элементов
Осесимметричные одно- и двумерные элементы получается поворотом на порождающих-x одномерных элементов.
Приложение 2
Методика получения стандартизованных матриц элемента
Возьмем для примера 2-ой элемент базового каталога и применим к нему обобщенный метод Крамера-Лагранжа, поскольку он лишь частично образован координатными плоскостями и. Присвоим узлам индексы, соблюдая правило обхода против часовой стрелки.
В основании треугольной прямой призмы лежит симплекс-треугольник, трансляцией которого вдоль орта на расстояниеобразован объемный элемент. Точно так же можно считать, что элемент образован трансляцией верхнего
основания по орту . Базисные функции легко находятся по обобщенному методу Крамера-Лагранжа, т.е. умножением базисных функций симлекс-треугольниковина полином Лагранжа(см. п. 4.3):
, при (П.2.1)
Полиномы Лагранжа имеют вид:
; . (П.2.2)
Функции для симплекс-треугольника возьмем в виде (4.1.7):
, , (П.2.3)
–удвоенная площадь треугольника (см. 4.1.3). Конкретные значения коэффициентов в (П.2.3) нас пока не интересуют. Правильность базисных функций узлов элемента гарантирована использованием обобщенного метода Крамера-Лагранжа.
Найдем производные базисных функций по текущим переменным :
; ;
. (П.2.4)
Элементарный объем представим в виде
, (П.2.5)
так как производные по иесть постоянные, умножаемые на полином.
Найдем объемную часть матрицы теплопроводности, подставляя в (5.3.2) производные (П. 2.4) с учетом (П. 2.5):
(П.2.6)
.
Типичные интегралы:
; . (П.2.7)
Компонент будет идентичен, еслизаменить на. Поэтому запишем эти части матрицы в общем виде:
(П.2.8)
Здесь при ,; при,.
Так как производная по зависит только от, то при интегрировании по объему целесообразно перейти к плоским-координатам:
.
Производя перемножение сцепленных матриц, и интегрируя с учетом (5.3.8), получим окончательно:
(П. 2.9)
Таким образом, объемная часть матрицы теплопроводности элемента будет равна:
. (П.2.10)
Полученные результаты (П.2.8) и (П.2.9) рекомендуется проверить на правильность размерности, которая должна быть :
; ;;.
В итоге имеем .
Матрицы - стандартизованы и поэтому заносятся в программу. Они станут числовыми, если символы заменить их числовыми значениями, определяемыми по узловым координатам, а коэффициенты теплопроводности – на их величины согласно физическому каталогу.
Поверхностные части матрицы теплопроводности (пo числу поверхностей) определяются согласно формуле (5.1.3). Присвоим поверхностям элемента номера:
; ;;;.
Матрицы для поверхностей 1 и 2 будут отличаться только коэффициентами , и индексами строк и столбцов, так как этим поверхностям принадлежат разные узлы. Интегрирование поможно провести с помощью-координат. Базисные функции узлов найдем, приравнивая текущуюдля первой плоскости и- для второй. В итоге будем иметь:
; ;;
(П.2.11)
; ;;
Подставим найденные базисные функции в (5.1.3) и проинтегрируем согласно (5.3.8). Получим:
. (П.2.11)
По аналогии:
. (П.2.12)
На самом деле эти матрицы имеют ранг, равный шести, но мы не стали загромождать их выражения нулевыми строками и столбцами. Номера узлов покажут их место в глобальной матрице .
Матрицы для остальных поверхностей находятся так же легко благодаря переходу к плоским - координатам. Типичные интегралы будут иметь вид:
; ; , (П.2.13)
, ,;,.
Поверхностные сокращенные матрицы для будут иметь одинаковый вид и отличаются коэффициентом, длинойи индексами ненулевых строк и столбцов:
, (П.2.14)
; ,;.
Для определения матрицы достаточно строкам и столбцам матрицы (П.2.14) присвоить индексы соответствующей плоскости. Формула (П.2.14), будучи стандартизованной, также заносится в программу.
Матрица теплоемкости (5.1.5) находится так же легко, только интегрирование с помощью - координат ведется не по, а по, а полином Лагранжаинтегрируется по. Типичные интегралы идентичны интегралам (П.2.13):
;
(П.2.15)
, .
Таким образом, матрица теплоемкости будет равна:
, (П.2.16)
где – объем элемента.
Умножением элементов матрицы на числовые значения и объема элемента, сокращенная матрица теплоемкости превращается в числовую и сразу заносится в глобальную соответственно номерам узлов.
Найдем объемную часть вектора тепловой нагрузки согласно (5.1.8):
, (П.2.17)
где – единичный вектор-столбец.
Из (П.2.17) видно, что распределение по узлам элемента равномерное, независимо от его геометрии. Это означает, что желательно иметь элемент с примерно равными ребрами, чтобы распределение (П.2.17) было приближено к реальному физическому. Числовой вектор (П.2.17) заносится в глобальный вектор.
Поверхностный компонент тепловой нагрузки находится по (5.1.9) так же просто, как и объемный:
. (П.2.18)
По аналогии
. (П.2.19)
Остальные компоненты найдем по формулам:
; (П.2.20)
; (П.2.21)
. (П.2.22)
Превращая вектор-столбцы в числовые, их заносят соответственно номерам узлов в глобальный вектор .
Таким образом, все стандартизованные и программируемые матрицы для 2-го элемента базового каталога найдены. Остается найти средние температуры по формулам (5.4.1), поскольку они тоже должны находиться программно:
, (П.2.23)
где – единичная строка,– вектор-столбец узловых значений температуры.
Интегралы, которые следует взять для вычисления средних поверхностных температур элемента, фактически уже взяты – это выражения (П.2.18) – (П.2.22). Остаётся лишь единичные вектор-столбцы заменить на единичные строки и умножить их на вектор-столбец значений температуры в узлах, принадлежащих поверхности. В итоге будем иметь общую формулу для среднеповерхностной температуры:
. (П.2.24)
Здесь – число узлов, принадлежащих поверхности; , – единичная матричная строка и температура в узлах, принадлежащих поверхности, соответственно.
Из выражений (П.2.23) и (П.2.24) видно, что средние температуры находятся как среднее арифметическое температур элемента или плоскости, соответственно:
; . (П.2.25)
Формулы (П.2.23) и (П.2.24) или их аналоги (П.2.25) программируются, так как знание средних температур необходимо при учете температурной зависимости теплофизических свойств материала элемента и радиационного компонента теплообмена.
Описанная процедура стандартизации матриц элемента выполняется для каждого элемента базового каталога.