6____2004

Содержание
Тема 1. Векторная алгебра ..................................................................	15
1.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами..........................	15
1.1.1. Понятие вектора......................................................................................................	15
1.1.2. Линейные операции над векторами ....................................................................	16
1.1.2.1. Операция сложения............................................................................................	16
1.1.2.2. Умножение вектора на число............................................................................	18
1.1.3. Понятие линейной зависимости векторов..........................................................	18
1.1.4. Линейные комбинации двух векторов................................................................	19
1.1.5. Линейные комбинации трех векторов................................................................	20
1.1.6. Линейная зависимость четырех векторов..........................................................	21
1.1.7. Понятие базиса. Аффинные координаты ...........................................................	22
1.1.8. Проекция вектора на ось .......................................................................................	23
1.1.9. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.................	23
1.2. Скалярное произведение двух векторов...................................................	25
1.2.1. Определение скалярного произведения..............................................................	25
1.2.2. Геометрические свойства скалярного произведения.......................................	25
1.2.3. Алгебраические свойства скалярного произведения.......................................	26
1.2.4. Выражение скалярного произведения в декартовых прямоугольных
координатах........................................................................................................................	27
1.3. Векторное произведение двух векторов...................................................	27
1.3.1. Правые и левые тройки векторов и системы координат................................	27
1.3.2. Векторное произведение двух векторов..............................................................	28
1.3.3. Геометрические свойства векторного произведения.......................................	28
1.3.4. Алгебраические свойства векторного произведения.......................................	29
1.3.5. Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка....................	29
1.3.6. Выражение векторного произведения в декартовых прямоугольных
координатах........................................................................................................................	30
1.3.7. Смешанное произведение трех векторов............................................................	31
1.3.8. Выражение смешанного произведения в декартовых координатах.............	32
1.4. Преобразование системы координат........................................................	33
1.4.1. Параллельный перенос ..........................................................................................	33
1.4.2. Поворот......................................................................................................................	33
Тема 2. Прямая на плоскости..............................................................	35
2.1. Исследование общего уравнения первой степени...................................	35
2.2. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом............................	35
2.3. Угол между двумя прямыми......................................................................	37
2.4. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.............	37
2.5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки......................	38
2.6. Нормальное уравнение прямой линии......................................................	40
2.7. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду. 41
2.8. Расстояние от данной точки до данной прямой......................................	42
2.9. Уравнение прямой линии в отрезках........................................................	43

11

Тема 3. Плоскость................................................................................	45
3.1. Общее уравнение плоскости......................................................................	45
3.2. Исследование общего уравнения плоскости............................................	45
3.3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку,
перпендикулярную данному вектору..............................................................	46
3.4. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку M0 (x0 , y0 , z0 ) и
параллельной неколлинеарным векторам l1 ={m1 , n1 , p1} и
l 2 ={m2 , n2 , p2 } .................................................................................................	47
3.5. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
M1 (x1 , y1 , z1 ) ; M 2 (x2 , y2 , z2 ) ; M 3 (x3 , y3 , z3 ) , не лежащие на одной
прямой.................................................................................................................	48
3.6. Угол между двумя плоскостями................................................................	49
3.7. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей ......	49
3.8. Нормальное уравнение плоскости............................................................	52
3.9. Приведение общего уравнения первой степени к нормальному виду..	54
3.10. Расстояние от точки до плоскости..........................................................	56
3.11. Уравнение плоскости в отрезках.............................................................	58
Тема 4. Прямая в пространстве...........................................................	61
4.1. Уравнение прямой в пространстве............................................................	61
4.2. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой.
Параметрические уравнения прямой...............................................................	61
4.3. Некоторые дополнительные предложения и примеры...........................	63
4.4. Угол между двумя прямыми......................................................................	63
4.5. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в
пространстве.......................................................................................................	64
Тема 5. Плоскость и прямая в пространстве......................................	66
5.1. Пересечение прямой и плоскости.............................................................	66
5.2. Угол между прямой и плоскостью............................................................	67
5.3. Уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку....................	67

5.4.Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые. 68

5.5.Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые

..............................................................................................................................	69
5.6. Расстояние от точки до прямой в пространстве......................................	70
5.7. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве ...............	72
5.8. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве .........	73
Тема 6. Кривые второго порядка........................................................	75
6.1. Геометрический смысл уравнений............................................................	75
6.2. Две основные задачи ..................................................................................	75
6.3. Окружность .................................................................................................	76

12

6.4. Эллипс..........................................................................................................	77
6.5. Гипербола ....................................................................................................	79
6.6. Парабола ......................................................................................................	80
6.7. Построение точек эллипса, гиперболы и параболы при помощи
циркуля и линейки.............................................................................................	82
6.8. Классификация линий второго порядка на плоскости ...........................	83
6.9. Приведение уравнения второго порядка на плоскости к каноническому
виду......................................................................................................................	84
6.9.1. Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов).................................	84
6.9.2. Центр линии второго порядка на плоскости.....................................................	86
6.9.3. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго
порядка................................................................................................................................	87
6.9.4. Приведение к простейшему виду параболического уравнения.....................	88
6.9.5. Классификация линий второго порядка по инвариантам..............................	89
6.9.5.1. Компактная запись общего уравнения.............................................................	89
6.9.5.2. Характеристический многочлен........................................................................	89
6.9.5.3. Преобразования общего уравнения..................................................................	90
6.9.5.4. Метод вращений.................................................................................................	91
6.9.5.5. Перенос начала ...................................................................................................	92
6.9.5.6. Таблица классификации линий второго порядка по инвариантам................	94
Тема 7. Поверхности второго порядка...............................................	96
7.1. Эллипсоид и гиперболоид..........................................................................	96
7.2. Конус второго порядка.............................................................................	101
7.3. Параболоиды.............................................................................................	102
7.4. Цилиндры второго порядка .....................................................................	105
7.5. Прямолинейные образующие..................................................................	106
7.6. Классификация поверхностей второго порядка в пространстве.........	107
7.7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому
виду методом Лагранжа (методом выделения полных квадратов) ...........	110
Тема 8. Множества.............................................................................	115
8.1. Основные понятия о множествах, логическая символика ...................	115
8.2. Операции над множествами ....................................................................	115
8.3. Взаимно однозначное соответствие и эквивалентность множеств.....	117
8.4. Вещественные числа и их изображение на числовой оси....................	117
Тема 9. Линейные пространства.......................................................	123
9.1. Определение линейного пространства...................................................	123
9.2. Примеры линейных пространств............................................................	124
Тема 10. Метрические пространства................................................	127
10.1. Примеры метрических пространств .....................................................	127
Тема 11. Нормированные пространства...........................................	130
11.1. Определение нормированного пространства.......................................	130
11.2. Примеры нормированных пространств...............................................	130

13

11.3. Пространство непрерывных функций C[a, b] .....................................	131
11.4. Предел последовательности .................................................................	132
Тема 12. Евклидовы пространства....................................................	133
Тема 13. Топологические пространства...........................................	137
13.1. Топология ................................................................................................	137
13.2. Топология метрических пространств...................................................	139
13.3. Непрерывные отображения ...................................................................	140
13.4. Аксиомы отделимости............................................................................	141
13.5. Компактность..........................................................................................	142
13.6. Гомотопии................................................................................................	143
13.7. Примеры...................................................................................................	143
Тема 14. Элементы дифференциальной геометрии........................	145
14.1. Вычисление кривизны кривой...............................................................	146
14.2. Естественный трехгранник пространственной кривой ......................	148
14.3. Вычисление кручения кривой...............................................................	148

14

Тема 1. Векторная алгебра

1.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами

1.1.1. Понятие вектора

Геометрическим вектором, или просто вектором, будем называть направленный отрезок в трехмерном пространстве (считаем, что в пространстве задан масштаб).

Обозначать вектор будем либо как направленный отрезок символом AB , где точки A и B обозначают соответственно начало и конец данного вектора, либо символом a .

B

a

A

Начало вектора называют точкой его приложения. Длину вектора будем обозначать символом модуля: AB или a .

Вектор называется нулевым, если совпадают его начало и конец. Нулевой вектор имеет длину равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

a

b

a

b

Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

15

a + b = b + a

a

b

a b

Точка приложения вектора может быть выбрана произвольно, поэтому изучаемые векторы называют свободными.

1.1.2. Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

1.1.2.1. Операция сложения

Суммой

a

+

b

двух векторов

a

и

b

называется вектор, идущий из начала

вектора

в конец вектора

при условии, что вектор

приложен к концу

a

b

b

вектора

. Это правило называют “правилом треугольника”.

a

Свойства операции сложения векторов

1.

Доказательство.

Приложим два произвольных вектора a и b к общему началу 0. Обозначим A и B концы векторов a и b соответственно и рассмотрим параллелограмм

B	a	C
b		b

OBCA, где BC = OA = a , AC = OB = b .	0	a A

Из определения 1 и ∆OAC следует, что OC = a +b , а из ∆OBC следует, что

OC = b +a . □

Замечание. При доказательстве свойства 1 нами получено правило сложения векторов, называемое “правилом параллелограмма”: если векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма

16

(a + b)+ c = a + (b + c)

a +b (b +a ) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала векторов a и b .

2.

Доказательство.

Приложим вектор a к произвольной точке 0, вектор b к концу вектора a и вектор c к концу вектора b .

Обозначим буквами A, B, C концы векторов a , b и c , тогда

(a +b) +c = (OA + AB) + BC = OB + BC = OC

a + (b + c) = OA + (AB + BC) = OA + AC = OC .

3. Существует нулевой вектор 0 такой, что a +0 = a для любого вектора a . Это свойство вытекает из определения суммы векторов.

4. Для любого вектора a существует противоположный ему вектор −a такой, что a +(−a) = 0 .

Доказательство.

Определим вектор −a , противоположный вектору a , как вектор, коллинеарный вектору a , имеющий с ним одинаковую длину и противоположное направление. Взятая по определению сумма вектора a с таким вектором - a дает нулевой вектор.

Разностью a − b вектора a и вектора b называется такой вектор c , который в сумме с вектором b дает вектор a .

Из определения разности и из правила треугольника сложения векторов вытекает правило построения разности a − b : разность a − b приведенных к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора b в конец уменьшаемого вектора a .

17

1.1.2.2. Умножение вектора на число

Произведением α

(

α) вектора

на вещественное

a

a

a

число α называется вектор

, коллинеарный вектору

,

b

a

−

a

a

b

имеющий длину

α

, и имеющий направление,

a

0

совпадающее с направлением вектора a в случае α>0 и

b

противоположное

направлению вектора a в случае

α<0.

Свойства операции умножения вектора на число

5. α(a +b) =αa +αb

Доказательство.

При “растяжении” сторон параллелограмма диагональ также “растягивается” в α раз, т.е.

α a + α b = α (a + b ) .□

6.(α + β)a =αa + βa

7.α(βa ) = (αβ)a

αa

α(a + b)

a a + b

0

bαb

вα раз в силу свойств подобия

Последние два свойства очевидны из геометрических соображений.

1.1.3. Понятие линейной зависимости векторов

Линейной комбинацией n векторов a 1 , a 2 ,... , a n будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа:

α1a1 +α2 a2 +... +αn an ,	(1.1)
где α1, α2, ..., αn – любые вещественные числа.
Векторы a1 , a2 ,..., an называются линейно зависимыми,	если найдутся такие

вещественные числа α1, α2, ..., αn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов обращается в нуль, т.е.

α1a1 +α2 a2 +... +αn an = 0 .

Векторы a 1 , a 2 ,..., a n , не являющиеся линейно зависимыми, будем называть

линейно независимыми.

18

Приведем другое определение линейно независимых векторов.

Векторы a 1 , a 2 ,..., a n называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1.1) возможно лишь в случае, когда числа

α1 = α2 = ... = αn = 0.

Из этих определений следуют два утверждения:

1. Если хотя бы один из векторов a 1 , a 2 ,..., a n является нулевым, то эти

то эти векторы являются линейно зависимыми.

2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

1.1.4. Линейные комбинации двух векторов

Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть векторы a и b линейно зависимы. Докажем их коллинеарность.

По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа α и β, хотя бы одно из которых не равно нулю, что справедливо равенство

αa + βb = 0 .

Пусть β≠0. Тогда b = −αβ a . Обозначив λ = −αβ , получим b = λa .

Необходимость доказана.

2) Достаточность.

Пусть векторы a и b коллинеарны. Докажем, что они линейно зависимы. Если хотя бы один из них нулевой, то a и b линейно зависимы.

Если же вектор a ненулевой, то из коллинеарности векторов a и b следует, чтоb = λa , т.е. λa +(−1)b = 0 . □

Следствие 1. Если векторы a и b не коллинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

19

1.1.5. Линейные комбинации трех векторов

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть три вектора a , b , c линейно зависимы. Докажем их компланарность. По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа α, β и γ, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что αa + βb +γc = 0 .

Пусть γ≠0. Тогда c = −αγ a − βγ b .

	Обозначив	λ	= −α	,	µ	= −	β	, имеем c = λa + µ		. Если все три вектора
									b
							γ
			γ

приложены к общему началу О, то отсюда следует, что вектор c равен диагонали параллелограмма, построенного на векторахλa и µb (см. рис. 1.1).

				B						C
µ			b							c
0	b									A
		a				λ
								a
		рис. 1.1
Но это означает, что векторы				a ,		,				лежат в одной плоскости, т.е.
					b		c
компланарны.

2) Достаточность.

Пусть векторы a , b , c компланарны. Докажем, что они линейно зависимы. Если какая-нибудь пара из указанных трех векторов коллинеарна, то эта пара линейно зависима и все три вектора a , b , c линейно зависимы.

Осталось рассмотреть случай, когда в тройке векторов a , b , c ни одна пара векторов не коллинеарна.

Перенесем три компланарных вектора a , b , c на одну плоскость и приведем их к общему началу О (рис.1.1). Через конец C вектора c проведем прямые, параллельные векторам a и b . Обозначим А точку пересечения прямой, параллельной вектору b с прямой, на которой лежит вектор a , а В – точку пересечения прямой, параллельной вектору a , с прямой, на которой лежит

20