Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 4

71

с точки L , т. е. после разгрузки из зоны общей текучести. Из того, что было сказано выше, следует, что здесь может реализоваться любая траектория, соединяющая точки L и C диаграммы и не выходящая за пределы параллелограмма LL C C. Одна из возможных кривых L C показана на рис. 4.8a. После того, как точка C будет достигнута, диаграмма развивается точно так же, как и при отсутствии промежуточной разгрузки. Картина повторного нагружения материала из точки N (см. рис. 4.8b) аналогична только что описанной: может реализоваться любая траектория движения от точки N к точке K, в которой и произойдет разрушение образца.

Стабильность при повторном нагружении наблюдается лишь в случае, когда разгрузка производится из зоны упрочнения. Линия M M почти сливается с линией M M (см. рис. 4.8c), по которой шла разгрузка, т. е. точки M и M практически совпадают. В дальнейшем диаграмма следует той кривой, какая была бы при непрерывном нагружении. Таким образом, описанный цикл "разгрузка – нагрузка" привел к улучшению упругих свойств материала: образец после точки M деформируется в соответствии с законом Гука до гораздо большего уровня напряжений, чем на участке 0A. Правда, это сопровождается уменьшением зоны пластического деформирования или, как говорят, охруплением материала.

Повышение предела упругости материала в результате пластического деформирования и последующей разгрузки называют наклепом. Наклеп исследовался многими экспериментаторами и теоретиками, в том числе и немецким специалистом в области механики И. Баушингером. Он проводил эксперименты, сбрасывая нагрузку до нуля и переходя затем к напряжениям противоположного знака. Обнаруженный Баушингером эффект, который впоследствии получил его имя, проще всего проиллюстрировать при помощи упрощенной диаграммы "σ–ε", показанной на рис. 4.9. Упрощение состоит в том, что пластические ветви диаграммы изображаются в виде прямых линий, имеющих меньший наклон, чем упругий участок AA (вписанная в реальную диаграмму ломаная). Траектории разгрузки и повторной растягивающей нагрузки вычерчены сплошными линиями, а траекто-

72

Часть I

рия повторной нагрузки с противоположным знаком – штриховой. Эффект Баушингера проявляется в том, что повышение предела упругости при растяжении приводит к уменьшению такового при сжатии и наоборот: отрезок σп на рис. 4.9 больше отрезка σп. Следовательно, использование наклепа в качестве технологической операции должно быть целенаправленным. Нет смысла подвергать наклепу материал, который предназначен для изготовления элементов, работающих и на растяжение, и на сжатие, тогда как предварительная вытяжка проводов линий электропередач вполне оправданна.

4.6. Пластичность и хрупкость. Как уже говорилось, мерой пластичности материала служит величина δ. Материал от-

носится к хрупким, если δ < 2 ÷ 5%. Конструкции из хрупких материалов менее надежны. Хрупкое разрушение всегда внезапно: конструкция не предупреждает о выходе из строя заметными для наблюдения деформациями. Возникающие в хрупком теле трещины не залечиваются, и даже кратковременный выход за пределы допустимой нагрузки может нанести конструкции непоправимый ущерб. Пластический же материал при не слишком большой перегрузке даже упрочняется (наклеп), усилия в пластически деформируемых элементах перераспределяются более благоприятным для работы конструкции образом. Говорят, что пластическая конструкция приспосабливается к нагрузке. Именно по этим причинам инженеры предпочитают иметь дело с пластическими материалами. Но и хрупкие материалы не лишены положительных качеств: у них более высокая прочность при сжатии и они более дешевы.

Разница между хрупкими и пластическими материалами проявляется и при сопоставлении их энергетических свойств. На рис. 4.10a изображена диаграмма "P –∆L" растяжения мягкой стали. Площадь выделенного участка диаграммы численно равна дифференциалу dA работы A, которую совершает сила P , деформируя образец:

∆l

dA = P d(∆l), A = P d(∆l).

0

Из рис. 4.10b следует, что с линейно-упругим деформированием связана работа

Aу = P · ∆l/2.

(4.3)

Глава 4

73

Полученный результат носит название теоремы Клапейрона: работа линей- но-упругой деформации равна полупроизведению силы и перемещения. С учетом равенств (4.1) отсюда следует, что Aу/(F l) = σε/2 или

Aу = σε/2,

(4.3a)

где Aу = Aу/(F l) – так называемая удельная работа упругой деформации, т. е. отнесенная к единице объема тела величина работы Aу.

На рис. 4.10c совмещены диаграммы "σ–ε" растяжения мягкой стали (линия 1) и сжатия серого чугуна (линия 2). Площадь участка с контуром 0K1K10 заметно больше площади фигуры 0K2K20. Следовательно, на разрушение пластического материала расходуется гораздо большая´ работа, чем на разрушение пусть даже более прочного хрупкого материала.

В заключение следует сказать, что при некоторых условиях пластические материалы ведут себя как хрупкие и наоборот. Так, при низких температурах мягкая сталь разрушается хрупко, а каменные породы, подверженные высоким температуре и давлению, обнаруживают пластические свойства.

4.7. Предельное и допустимое состояния при осевой нагрузке. Оценка прочности при однородной осевой деформации осуществляется по формуле

σmax ≤ σпр/n,

где σmax – максимальное напряжение в стержне, найденное теоретически, σпр – предельное для данного материала значение напряжений, n – число, превышающее единицу и называемое коэффициентом запаса. Величину

[σ] = σпр/n

называют допускаемым напряжением. Для пластических материалов принимают

σпр = σт,

74

Часть I

т. е. предельным напряжением считается предел текучести. Соответствующий коэффициент запаса именуется коэффициентом запаса по текучести и обозначается nт. Для хрупких материалов предельное напряжение берется равным временному сопротивлению:

σпр = σв,

а коэффициент запаса по пределу прочности обозначается через nв. Выбор значений коэффициентов nт и nв проводится на основе соображений, о которых здесь говорить преждевременно. Этому вопросу уделяется особое внимание в специальных курсах, посвященных проектированию строительных и машиностроительных конструкций. Можно сказать лишь, что коэффициенты запаса назначаются из довольно широкого диапазона допускаемых значений:

nв = 1,5 ÷ 5, nт = 1,2 ÷ 2,5.

В справочниках обычно приводятся данные непосредственно о допускаемых напряжениях. Например, для мягкой строительной стали как при растяжении, так и при сжатии принимается [σ] = 1600 кГ/см2, тогда как для серого чугуна – [σ]+ = 250 кГ/см2, [σ]− = 1100 кГ/см2, где [σ]+, [σ]− – допускаемые напряжения на растяжение и сжатие. Таким образом, проверка прочности при осевой деформации ведется по формуле

σmax ≤ [σ],

называемой условием прочности по допускаемым напряжениям. Это не единственная возможность оценить надежность конструкции. В инженерной практике используется также и расчет по предельной нагрузке:

Pmax ≤ Pпр,

в котором приложенное воздействие сопоставляется с предельным для данной конструкции значением этого воздействия.

4.8. Расчетные модели материала. Диаграммы "σ–ε" конструкционных материалов разнообразны, часто они состоят из многих участков, что делает применение таких диаграмм в прочностных расчетах неудобным. При вычислениях же вовсе не требуется использовать всю диаграмму, ибо чаще всего инженерные расчеты ведутся на стадии линейно-упругого деформирования, реже – с учетом пластических деформаций, а нисходящая ветвь диаграммы "σ–ε" представляет собой разве что теоретический интерес.

При вычислениях удобно иметь аналитическую связь между напряжениями и деформациями. Установить таковую можно лишь после того, как каждая ветвь диаграммы будет заменена некой линией: прямой, ломаной, какой-либо элементарной кривой. Зависимость

Глава 4

75

σ = σ(ε)

называют физическим законом материала. Физическое моделирование состоит в том, чтобы указать вид функции σ = σ(ε) для рассматриваемого участка диаграммы "σ–ε". В его ходе как раз и надо подобрать соответствующую аппроксимирующую линию, сделав это так, чтобы, с одной стороны, не выйти за пределы допустимой погрешности при дальнейших вычислениях и, с другой стороны, аналитическое представление предлагаемой линии было как можно более простым. Вот некоторые из наиболее распространенных физических моделей материала (рис. 4.11).

a) Линейно-упругое тело. Так называют среду, деформирование кото-

рой определяется законом Гука (4.2). Здесь отбрасывается вся нелинейная часть диаграммы "σ–ε", либо слабоискривленная ветвь диаграммы заменяется отрезком прямой (см. рис. 4.2c). Физически линейный материал – одна из самых важных и широко используемых моделей материала.

b) Упругопластическое тело. Пусть нагрузка такова, что материал может, помимо упругих, испытывать и пластические деформации, не выходящие, однако, за пределы площадки текучести. В рассматриваемом случае модель материала такова (см. рис. 4.11a): при σ < σт среда считается линейно деформируемой, участок нелинейной упругости игнорируется, а горизонтальная площадка текучести принимается уходящей вправо на бесконечность. Другими словами,

σ = Eε, если σ < σт, иначе σ = σт.

c) Идеально пластическое тело. Эта модель применяется при решении ряда технологических задач (прокатка, штамповка и т. п.). Если изучается поведение материала, целиком находящегося в стадии пластического течения, то можно пренебречь как весьма малыми любыми упругими деформациями. Соответствующая модель среды представлена на рис. 4.11b. Следует отметить, что связь между напряжениями и деформациями для идеально пластического тела (его также называют жесткопластическим телом) не является взаимно однозначной.

76

Часть I

d) Нелинейная упругость. Тело с упрочнением. Если материал деформируется упруго, но не по линейному закону (рис. 4.11c), то соответствующий участок диаграммы аппроксимируют какой-либо элементарной функцией. Например, показательной функцией

ε = σk/E,

где k – число, зависящее от свойств материала (для цементного камня k = 1, 09, для гранита – k = 1, 13). Но даже такая простая зависимость между напряжениями и деформациями приводит к значительным вычислительным усложнениям по сравнению со случаем k = 1 (линейная упругость). Вот почему широкое распространение нашла модель двухмодульного материала (рис. 4.11d), которая получается при аппроксимации нелинейной экспериментальной зависимости ε(σ) двухступенчатой ломаной:

σ = E1ε, если σ < σA, σ = E2ε, если σ > σA.

Аналогичный вид имеет и диаграмма "σ–ε" материала с упрочнением, т. е. пластического материала без ярко выраженной площадки текучести. Разница же между нелинейно-упругим телом и упрочняющейся средой заключается в том, что в первом случае траектории нагрузки и разгрузки совпадают, а во втором – такое совпадение имеет место лишь до тех пор (рис. 4.11e), пока деформирование ограничивается участком 0A диаграммы.

4.9. Ползучесть. При длительных испытаниях, в которых нагрузку на образце держат месяцами, годами, а то и десятилетиями, обнаруживаются новые любопытные явления в поведении материалов, объединяемые термином ползучесть. Одно из них, называемое последействием, заключается в том, что при фиксированной нагрузке в образце наблюдается рост деформаций. Эти деформации могут с течением времени затухать, стремясь к некоторому пределу

(кривая 1 на рис. 4.12a), а могут привести и к разрушению образца (линия 2 на рис. 4.12a). Последействие присуще бетону, многим металлам и полимерам.

Проявляется ползучесть и в виде релаксации напряжений, т. е. уменьшении их значений с течением времени при фиксированной деформации (см. рис. 4.12b). Такое явление наблюдается, например, в арматуре предварительно напряженного железобетона.

Глава 4

77

Напряженно-деформированное состояние среды, подверженной ползучести, зависит не только от координат точки тела, нагрузки и времени, но и от того, каким было это состояние на предыдущих этапах деформирования. Говорят, что материал помнит историю своего нагружения. Сказанное означает, что связь между напряжениями, деформациями и временем должна описываться интегральными или дифференциальными соотношениями. Эту связь называют реологической моделью тела: от греческого ρεo – теку и λoγoς – учение, знание. В общем случае реологические модели среды довольно сложны. Но если связь между напряжениями, деформациями (или их скоростями) линейна, то дело упрощается. Ниже как раз и исследуются сравнительно простые реологические модели, описывающие последействие

ирелаксацию в так называемом вязкоупругом теле.

4.10.Две модели вязкоупругой среды. Известно, что силы трения между частицами жидкости можно свести к касательным напряжениям, которые зависят не от величины относительного перемещения u этих частиц, а от скорости движения: τ = γdu/dt, где γ – коэффициент пропорциональности, устанавливаемый экспериментально и называемый вязкостью жидкости. По аналогии с этим для упруговязкого материала принимается

σr = K	dεr	.	(4.4)
	dt

В этой формуле σr – напряжение, пропорциональное скорости деформации, т. е. вязкое напряжение, εr – связанная с таким напряжением деформация, K – константа материала, получаемая в опыте и имеющая размерность напряжения, умноженного на время.

Кроме напряжений (4.4), в теле возникают и чисто упругие напряжения σe, зависящие непосредственно от деформации εe, а не от ее скорости. Если

материал следует закону Гука, то
σe = Eεe.	(4.5)

При построении реологической модели среды исходят из предположения, что таковая представляет собой смесь упругих и вязких элементов (рис. 4.13a, b). Именно по этой причине среду и назвали вязкоупругой. Предлагая различные способы соединения между собой элементов, изображенных на рис. 4.13 (упругая пружина и вязкий поршень), можно получать различные модели вязкоупругой среды. Два из таких способов и будут сейчас рассмотрены.

Тело, в котором упругий и вязкий элементы соединены параллельно (рис. 4.14a), называется моделью Фойгта. При таком соединении все упругие и вязкие элементы деформируются одинаково, т. е. в формулах (4.4) и (4.5) фигурирует одна и та же деформация εe = εr = ε. Полное же напряжение σ

78

Часть I

равно сумме напряжений σe и σr, т. е.

σ = Eε + K dεdt

или

dε	+	E	ε =	σ	.	(4.6)
dt		K
				K

Этим неоднородным уравнением 1-го порядка и описывается тело Фойгта. Если напряжения σ во времени не меняются, то интеграл уравнения (4.6) имеет вид:

ε = Ce−at + σ/E; a = E/K.

Пусть ε0 – деформация в начальный момент времени t = 0. Тогда

C = ε0 − σ/E и ε = σ(1 − e−at)/E + ε0e−at.

График этой функции в точности совпадает с кривой 1 на рис. 4.12a при ε0 = σ/E. Значит, модель Фойгта описывает последействие. Поскольку в рассматриваемом случае σ = const, то эту модель называют еще моделью

нерелаксирующего тела.

Последовательное соединение между собой вязкого и упругого элементов (см. рис. 4.14b) приводит к модели Максвелла. Теперь в указанных элементах одинаковыми будут напряжения и разными деформации. Полная деформация складывается из упругой и вязкой, а потому

dε

=

dεe

+

dεr

,

dt

dt

dt

что с учетом зависимостей (4.4), (4.5) и σe = σr = σ дает

dε

=

σ

+

1 dσ

.

(4.7)

dt

E dt

K

Глава 4

79

Линейное дифференциальное уравнение (4.7) описывает среду Максвелла. Если деформация постоянна, то dε/dt = 0 и уравнение (4.7) становится однородным. Его общее решение при начальном условии σ(0) = σ0 имеет вид

σ = σ0e−at.

График этой функции совпадает с кривой σ(t), изображенной на рис. 4.12b при σ = 0. Другими словами, модель Максвелла описывает релаксирующее тело, в котором напряжения асимптотически стремятся к нулю. Чтобы получить среду с ненулевой асимптотой, нужно рассматривать более сложные способы соединения упругих и вязких элементов. Два из них проиллюстрированы на на рис. 4.15.

ГЛАВА 5. ДЕФОРМАЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ТЕЛА

5.1. Вводные замечания. Теперь ничто не мешает вернуться к задаче, поставленной в п. 1.9, и продолжить исследование напряженно-деформи- рованного состояния в точке тела. Некоторая отсрочка в ее решении себя оправдала, так как благодаря ей были достигнуты сразу две цели. Вопервых, удалось получить полезную информацию о свойствах реальных материалов, узнать о многих явлениях и особенностях, сопровождающих процесс деформирования самых разных тел и, в первую очередь, тел, имеющих форму брусьев. Во-вторых, в какой-то мере был снят налет абстрактности, который всегда присутствует при чисто теоретических рассмотрениях, сопровождаемых громоздкими или не слишком элементарными выкладками.

В настоящей главе изучаются только те явления, которые имеют отношение к неразрывности процесса деформирования и не зависят от материала тела. Поэтому никакие данные о материале использоваться не будут. Достаточно считать среду сплошной, а перемещения точек тела и относительные деформации выделенных элементов – малыми. Последнее требование позволяет оставаться в рамках линейной теории и, стало быть, опираться на принцип наложения.

Пусть в декартовой системе координат 0xyz вектор перемещения точки тела имеет составляющие u, v, w, обычно также называемые перемещениями. Пусть далее, до приложения нагрузки, ребра элементарного параллелепипеда, выделенного около рассматриваемой точки тела, имели размеры dx, dy, dz, а после деформирования их размеры стали равными dx′, dy′, dz′. Отношения

dx′		− dx		dy′	− dy
εx =			, εy =			,
	dx
					dy

	dz′	− dz
εz =			(5.1)
		dz

называют деформациями растяжения–сжатия, или, с учетом того, что сжатие есть растяжение с обратным знаком, – относительными удлинениями. Изменения же первоначально прямых углов между гранями параллелепипеда называются деформациями сдвига, или просто сдвигами. В зависимости от того, в какой плоскости рассматриваются эти деформации, для их записи используются обозначения γxy, γyz и γzx.

Относительные удлинения характеризуют изменение объема тела, тогда как сдвиги – изменение его формы. Неразрывность процесса деформирования можно описать, установив связь между перемещениями u, v, w точки