Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 5

81

тела и деформациями ε, γ в ее окрестности либо только между деформациями ε и γ различных граней параллелепипеда, выделенного около данной точки. Связи первого типа называют условиями совместности перемещений и деформаций, а зависимости между величинами ε и γ – условиями совместности деформаций.

5.2. Условия совместности перемещений и деформаций в точке тела. Пусть тело загружается так, что грани выделенного около некоторой его точки параллелепипеда не перекашиваются. На рис. 5.1 изображена проекция такого параллелепипеда на плоскость xy. Контур, показанный сплошной линией, отвечает исходному состоянию тела, а штриховой

– деформированному состоянию. Поскольку координаты y, z точек A и B одинаковы, то

du =

∂u

dx; dx′ = (dx + u + du) − u = dx +

∂u

dx,

∂x

∂x

а тогда (см. формулы (5.1) и (2.5))

∂u

∂v

∂w

εx =

, εy =

, εz =

.

(5.2)

∂x

∂y

∂z

Таким образом,

dx′ = (1 + εx)dx, dy′ = (1 + εy)dy,

dz′ = (1 + εz)dz.

(5.3)

Теперь можно вычислить и относительное изменение объема рассмат-

риваемого параллелепипеда:
		dV ′	− dV
ε0	=			.	(5.4)
		dV

В этой формуле (см. равенства (5.3))

dV ′ = dx′dy′dz′ = (1 + εx)(1 + εy)(1 + εz)dxdydz =

= (1 + εx + εy + εz + εxεy + εyεz + εzεx + εxεyεz)dV.

82

Часть I

В п. 4.4 приводились следующие механические характеристики мягкой стали: E = 2,1 · 106 кГ/см2, σп = 1900 кГ/см2, т. е. предельная деформация ε = σп/E на линейном участке диаграммы "σ–ε" имеет порядок 10−3. Поэтому, если ограничиться рассмотрением случая, когда пластическое деформирование еще не наступило, подчеркнутые члены в последней формуле, как имеющие высший порядок малости, можно отбросить. Правда, для того, чтобы сделать это, вовсе не обязательно апеллировать к числам, помещенным в начале абзаца. Достаточно было бы просто сослаться на сделанное в п. 5.1 допущение о малости деформаций. Но как раз подсчеты такого рода и служат основанием для формулировки любых предположений о характере деформирования материалов. Таким образом,

dV ′ = (1 + εx + εy + εz)dV
и равенство (5.4) дает
ε0 = εx + εy + εz.	(5.5)

Величину ε0 называют объемной деформацией в точке тела.

Пусть теперь деформирование параллелепипеда не сопровождается изменением длин его ребер. Такое деформирование, отнесенное к координатной плоскости xy, иллюстрирует рис. 5.1b. По определению,

γxy = α + β.

Деформации малы, так что α ≈tgα = dv/dx, β ≈tgβ = du/dy, а поскольку

dv =

∂v

dx,

du =

∂u

dy,

∂x

∂y

то

dv

du

∂v

∂u

γxy =

+

=

+

dx

dy

∂x

∂y

или, после применения правила круговой подстановки индексов,

γxy =

∂u

∂v

∂v

∂w

∂w

∂u

+

, γyz

=

+

,

γzx =

+

.

(5.6)

∂y

∂x

∂z

∂y

∂x

∂z

Из геометрических соображений ясно, что

γxy = γyx,

γyz = γzy,

γzx = γxz.

Эти зависимости можно назвать законом парности сдвигов.

Объединение формул (5.2) и (5.6) приводит к шести соотношениям, которые как раз и являются условиями совместности деформаций и переме-

Глава 5

83

щений. Они известны также как геометрические уравнения Коши. Итак,

εx =

∂u

, εy =

∂v

, εz =

∂w

,

∂x

∂y

∂z

(5.7)

γxy =

∂u

+

∂v

, γyz =

∂v

+

∂w

, γzx =

∂w

+

∂u

∂y

∂x

∂z

∂y

∂x

∂z .

Теперь к трем условиям (2.6) равновесия в точке тела, содержащим шесть неизвестных компонент тензора напряжений, добавляются еще шесть дифференциальных уравнений с девятью искомыми функциями – перемещениями и деформациями. Ясно, что 15 неизвестных из 9 уравнений не найти, но тот физически ясный факт, что при помощи только статических

икинематических рассмотрений задачу о напряженно-деформированном состоянии в точке тела решить невозможно, неоднократно подчеркивался

ираньше. Однако прежде, чем перейти к уравнениям, связанным с выбором модели материала, необходимо прояснить кое-какие чисто кинематические аспекты деформирования.

Пусть u, v, w – произвольно назначенные перемещения точки тела. Ясно, что при помощи формул (5.7) этим перемещениям можно поставить в однозначное соответствие все шесть деформаций. Однако обратная задача – по шести произвольно названным функциям деформаций найти три функции перемещений – не разрешима в принципе: система шести уравнений с тремя неизвестными является переопределенной. Следовательно, деформации не могут быть какими угодно: они должны соответствовать друг другу так, чтобы непрерывность деформирования была обеспечена.

Сказанное можно продемонстрировать на примере статически неопределимой одноузловой фермы, показанной на рис. 5.2a. Если произвольно сместить узел A в положение A′, т. е. по своему усмотрению назначить числа

−−→

u и v – проекции вектора AA′ на горизонтальную и вертикальную оси соответственно (см. рис. 5.2b), то удлинения i стержней 1–3 величинами u и v будут определены однозначно. И

−−→

в самом деле, проецирование вектора AA′ (точнее, его составляющих u и v) на направления осей стержней 1–3 дает:

1 = u sin α + v cos α,	2 = v,	3 = −u sin α + v cos α.
Однако самовольное назначение удлинений		i элементов фермы может тут

же привести к нарушению сплошности тела. Так (рис. 5.2c), если потребо-

84

Часть I

вать, чтобы крайние стержни вообще не деформировались, а средний стержень удлинился на величину , то свести в одно место A′ все три торца примыкающих к узлу A стержней не удастся.

Итак, деформации тела не могут быть какими угодно. Они не должны противоречить тому очевидному факту, что до тех пор, пока материал не разрушился, частицы тела не могут отрываться друг от друга. Условия, которые необходимо для этого наложить на функции εx, . . . , γzx, были получены известным французским инженером и ученым Б. Сен-Венаном еще

впервой половине 1 века. Их вывод приводится в следующем пункте.

5.3.Условия совместности деформаций в точке тела. Преобразования, позволяющие перейти от уравнений (5.7) к соотношениям, связывающим между собой только деформации, состоит из ряда чисто формальных операций. Так, если первые два из равенств (5.7) дважды продифференцировать по y и x соответственно, а затем сложить и учесть первую из формул (5.6), то в итоге получится соотношение

∂2εx	+	∂2εy	=	∂2γxy		.	(5.8)
∂y2		∂x2			∂x∂y

Это и еще два подобных ему уравнения связывают относительные удлинения со сдвигами в соответствующей координатной плоскости (соотношенние (5.8) описывает такую связь в плоскости xy). При другом порядке преобразований равенств (5.7) можно прийти к зависимостям между деформациями разных граней параллелепипеда. Пусть функции (5.6) дифференцируются по z, x и y соответственно, а затем из суммы производных ∂γxy/∂z и ∂γzx/∂y вычитается производная ∂γyz/∂x:

∂γxy

∂γzx

∂γyz

∂2u

∂2v

∂2w

∂2u

∂2v

∂2w

+

−

=

+

+

+

−

−

.

∂z

∂y

∂x

∂y∂z

∂x∂z

∂z∂y

∂z∂x

∂y∂x

∂x∂y

Последовательность дифференцирования при вычислении смешанных производных от непрерывных функций безразлична, а потому правую часть здесь можно привести к виду

2 ∂2u . ∂y∂z

Остается исключить перемещение u, что достигается взятием еще одной производной – на этот раз по аргументу x – и использованием первого из равенств (5.2):

∂		∂γxy		∂γzx			∂γyz		= 2	∂2εx
			+			−					.
∂x		∂z			∂y		∂x			∂y∂z

Глава 5

85

Искомые уравнения совместности деформаций – их называют также условиями сплошности Сен-Венана – получаются из этой формулы и равенства (5.8) после применения правила (2.5):

∂2ε2x + ∂2ε2y = ∂2γxy ,

∂ ∂γxy + ∂γzx − ∂γyz = 2

∂2εx ,

∂y

∂x

∂x∂y

∂x

∂z

∂y

∂x

∂y∂z

2

2

2

2

∂ εy

∂ εz

∂ γyz

∂

∂γyz

∂γxy

∂γzx

∂ εy

−

(5.9)

2 +

2 =

,

+

= 2

,

∂y ∂x

∂z

∂y

∂y∂z

∂z

∂y

∂z∂x

2

2

2

2

∂ ε

z

∂ ε

x

∂ γ

zx

∂ ∂γ

zx

∂γ

yz

∂γ

xy

∂ ε

z

−

2

+

2

=

,

+

= 2

.

∂x

∂z

∂z∂x

∂z

∂y

∂x

∂z

∂x∂y

При анализе напряженно-деформированного состояния тел используются как уравнения (5.7), так и уравнения (5.9).

Условия совместности деформаций для одноузловой фермы, изображенной на рис. 5.2, записываются в конечной, а не в дифференциальной форме. Ясно, что удлинения i элементов конструкции должны быть такими, чтобы после того, как процесс деформирования завершится, центры торцевых сечений всех трех стержней оказались в точке A′. Оформить математическую запись этого требования в рассматриваемой задаче можно из чисто геометрических соображений. Пусть, например, требуется так подобрать удлинения стержней, чтобы узел A переместился строго по вертикали на

величину	. Из рис. 5.3 видно, что в этом случае должно
быть: 1 =	3 = cos α, 2 = . Условия совместности

деформаций стержней фермы получаются после исключе-

ния из этих равенств величины	:
1 = 3, 1 +	3 = 2Δ2 cos α.

Более детально о составлении условий совместности перемещений и деформаций (т. е. условий типа (5.7)), а также условий совместности деформаций (условий типа (5.9)) для одноузловых ферм рассказывается в п. II.1.9 настоящего пособия.

5.4. Деформации в окрестности точки тела. Около точки 0 тела можно выделить бесчисленное множество различным образом ориентированных линейных элементов 0A. Для того, чтобы установить, какой из них получает набольшее относительное удлинение εν , надо выразить эту величину через деформации εx,...,γxz граней параллелепипеда, для которого отрезок 0A является диагональю. Решение задачи проще начать с плоского случая.

86

Часть I

На рис. 5.4a изображен линейный элемент 0A длиною ds, ориентация которого в плоскости 0xy определяется двумя направляющими косинусами: l = cosϕ и m = sinϕ. После нагружения тела прямоугольный элемент 0aAb деформируется и займет новое положение 0a′A′b′ (рис. 5.4b; поскольку смещение рассматриваемого элемента как единого целого на деформации отрезка 0A не отражается, то точка 0 на рис. 5.4b оставлена на месте). Учитывается также, что перемещения малы, а потому

cos(ϕ + dϕ) = cos ϕ cos dϕ − sin ϕ sin dϕ ≈ cos ϕ · 1 − dϕ · sin ϕ ≈ cos ϕ = l,

sin(ϕ + dϕ) = sin ϕ cos dϕ + cos ϕ sin dϕ ≈ sin ϕ · 1 + dϕ · cos ϕ ≈ sin ϕ = m.

Подчеркнутые слагаемые отброшены, так как они являются величинами высшего порядка малости. Сказанное означает, что элементы 0A и 0A′ можно считать ориентированными одинаково. В этом случае

	εν =	AA′	=	uAl + vAm	,	(5.10)
		0A		ds

где uA, vA – перемещения точки A. Так как u(0) = = v(0) = 0, то (см. формулу (2.2))

uA

= u(0) + du =

∂u

dx +

∂u

dy,

∂x

∂y

vA

= v(0) + dv =

∂v

dx +

∂v

dy.

∂x

∂y

Но dx = ds · l, dy = ds · m, поэтому

∂u

∂u

∂v

∂v

uA =

l +

m ds, vA =

l +

m ds

∂x

∂y

∂x

∂y

и, согласно формулам (5.10) и (5.7),

	∂u		+	∂v		∂u	lm +	∂v
εν =		l2			+				m2
	∂x			∂x		∂y		∂y

или

εν = εxl2 + εym2 + γxylm.

Этот результат естественным образом обобщается на случай трех переменных:

εν = εxl2 + εym2 + εzn2 + γxylm + γyzmn + γxznl.

(5.11)

Глава 5

87

Формула (5.11) напоминает зависимость (2.9), связывающую нормальные напряжения по наклонной площадке с напряжениями по трем взаимно перпендикулярным площадкам, окружающим исследуемую точку. Правда, в формуле (2.9) компоненты тензора напряжений с разными индексами имеют множитель 2, у деформаций сдвигов отсутствующий, что объясняется различием в строении тензоров напряжений и деформаций. Последний, так же, как и первый, характеризуется двумя векторами: вектором нормали к площадке, деформации которой рассматриваются, и вектором самих деформаций. Одним из признаков любого тензора является наличие у него инвариантов. Они же и характеризуют этот объект. Инвариантами тензора деформаций

		εx		0, 5γyx		0, 5γzx
Tд =		0, 5γxy		εy		0, 5γzy
		0, 5γ	xz	0, 5γ	yz	ε	z

являются следующие величины (ср. с формулами (2.14)):

J1 = εx +εy +εz, J2 = −εxεy −εyεz −εzεx +(γxy2 +γyz2 +γxz2 )/4,

J3 = det(Tд).

Дальнейшее исследование деформаций может быть проведено по той же самой схеме, что использовалась при анализе напряженного состояния. Так, если поставить задачу об экстремумах функции εν (l, m, n) и решить ее, то обнаружится, что максимум относительного удлинения будет связан с одной из трех главных площадок по деформациям, на которых отсутствует сдвиг. Сами же главные деформации удовлетворяют кубическому уравнению

ε3ν − J1ε2ν − J2εν − J3 = 0,

корни которого располагаются в последовательности ε1 >ε2 >ε3. Нет смысла здесь приводить расчетные формулы. Последние могут быть записаны по формулам п. 2.3–2.4 с заменой компонент тензора напряжений на соответствующие компоненты тензора деформаций. Интереснее было бы выяснить, как соотносятся между собою главные площадки по напряжениям и деформациям, т. е. параллельны между собой или нет главные направления тензоров Tн и Tд. Однако ответ на этот вопрос будет дан только в конце следующей главы.

ГЛАВА 6. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ

ИДЕФОРМАЦИЯМИ ДЛЯ ТЕЛА ГУКА

6.1.О линейной упругости. Из всего многообразия физических и реологических моделей сред для дальнейшего исследования выбирается наиболее простая, а именно та, в которой связь между напряжениями и деформациями линейна. И делается это не только по причине упомянутой простоты модели.

Кдеформированию силовых конструкций предъявляются довольно жесткие требования. Обычно не допускаются не только необратимые деформации, но даже и сколь-либо заметные деформации вообще. А для большинства конструкционных материалов связь между малыми деформациями и соответствующими им напряжениями (кстати, далеко не малыми из-за больших значений модулей упругости) практически является линейной. Но зачастую даже в тех случаях, когда материал работает с отступлением от закона Гука, решение задачи о напряженно-деформированном состоянии тела удается проводить в виде серии последовательно выполняемых линейных расчетов. Сказанное, разумеется, не означает, что необходимость в исследовании физически нелинейных задач механики сплошной среды отпадает вообще. Но к такому исследованию целесообразно приступать уже после того, как будут рассмотрены более простые проблемы.

6.2.Закон Гука при сдвиге для изотропного материала. В главе 3 вскользь говорилось о том, что осевое растяжение (сжатие) сопровождается уменьшением (увеличением) поперечных размеров тела. Указанный эффект исследовал французский математик и механик Пуассон, который предложил

простую линейную зависимость между осевой ε и поперечной εп деформациями тела. Для изотропной среды эта связь такова:

εп = −νε.

Число ν называют коэффициентом Пуассона. Это – константа материала, которую находят опытным путем. При растяжении стержня вдоль оси абсцисс εx = ε > 0, εy = εz = −νε и согласно формуле (5.5)

ε0 = (1 − 2ν)ε.

Объем растягиваемого стержня уменьшиться не может, а потому ν ≤ 0, 5. И действительно, эксперименты показывают, что для большинства материалов 0, 1 < ν < 0, 35, хотя встречаются и такие материалы (например, резина),

Глава 6

89

которые при осевой деформации не меняют своего объема, т. е. имеют коэффициент Пуассона, равный 0,5.

Если связь между величинами σ и ε линейна:

σ = Eε,

(6.1)

то можно ожидать, что касательные напряжения τ и сдвиг γ также пропорциональны друг другу. Так оно и есть на самом деле. Как известно, в растягиваемом стержне с осевыми напряжениями σ на площадках, наклоненных к оси бруса под углом в 45o, действуют максимальные касательные напряжения, причем (см. формулы (3.2), (6.1))

τ = σ/2 = Eε/2.

(6.2)

Чтобы связать осевую деформацию ε со сдвигом γ, можно рассмотреть картину деформирования элемента ABDC, выделенного из бруса так, как это показано на рис. 6.1a. На рис. 6.1b изображена четверть данного элемента, при этом его контур до приложения внешнего воздействия показан сплошной линией, а после загружения – штриховой. Деформация равнобедренного прямоугольного треугольника 0AC представлена в виде суперпозиции двух деформаций – осевой и поперечной. По определению,

γ = 2(α + β).

Так как

α ≈ tgα = AA /AC = ε/2, β ≈ νε/2,

то γ = (1+ν)ε, что при подстановке в равенство (6.2) дает

E

τ = 2(1 + ν) γ.

Коэффициент пропорциональности в этой формуле обозначается через G:

G =	E	(6.3)
	2(1 + ν) .

90 Часть I

Эту величину, имеющую размерность напряжений, называют модулем сдвига, а равенство

τ = Gγ,

(6.4)

устанавливающее связь между касательными напряжениями τ и углом сдвига γ – законом Гука при сдвиге.

Модуль G есть константа материала. Она может быть найдена и из опыта, хотя воспроизвести в эксперименте сдвиг в чистом виде весьма непросто. Более подробно об испытаниях такого рода рассказывается в части VII настоящего курса. Здесь же достаточно обратить внимание на то, что деформация сдвига обычно исследуется в экспериментах на кручение образцов, имеющих форму тонкостенных труб. Дело в том, что касательные напряжения кручения распределяются по поперечному сечению массивного стержня неравномерно. Но в стержне трубчатого сечения неравномерностью распределения касательных напряжений по толщине скорлупы можно пренебречь, если только эта толщина достаточно мала. Постоянство же напряжений τ и есть признак чистого сдвига. Ясно, однако, что подобным образом нельзя исследовать довольно широкий круг материалов: природные и искусственные камни, древесину и некоторые другие материалы. Но так как константы E, ν и G связаны между собой зависимостью (6.4), то модуль G можно установить и косвенным путем.

6.3. Обобщенный закон Гука. Остается распространить зависимости (6.1) и (6.4) на случай общего напряженно-деформированного состояния тела. С законом Гука при сдвиге все обстоит просто. Поскольку одинаковый перекос двух любых параллельных граней элементарного параллелепипеда никак не влияет на деформации четырех оставшихся граней, то дело сводится к записи трех не зависимых друг от друга соотношений:

τxy = Gγxy, τyz = Gγyz, τzx = Gγzx.

(6.5)

Пусть теперь параллелепипед нагружается по граням только нормальными напряжениями σx, σy, σz. Эффект Пуассона приводит к тому, что каждая из деформаций εx, εy, εz будет зависеть от всех трех указанных напряжений. И в самом деле, напряжение σx приводит не только к деформации σx/E вдоль оси 0x, но и к деформации −νσx/E по направлениям осей 0y и 0z. Такой же эффект вызывают и нагрузки σy, σz. При суммировании всех трех деформаций вдоль оси 0x получается равенство:

εx = (σx − νσy − νσz)/E.

Аналогично могут быть представлены и удлинения εy, εz. Объединение трех таких равенств с формулами (6.5) дает: