Основы механики твердого деформируемого тела

Глава 6											91
εx =		1		[σx	−	ν(σy + σz)], γxy =		1	τxy,
	E							G
	1							1
											(6.6)
εy = E [σy − ν(σz + σx)], γyz = G τyz,
	1							1
εx = [σz						ν(σx + σy)], γzx = τzx.
					−
		E						G

Это и есть обобщенный закон Гука для сплошной изотропной среды. Формулы (6.6) позволяют найти деформации в любой точке тела по из-

вестным напряжениям в ней. Полезно иметь и такую форму записи обобщенного закона Гука, в которой напряжения представлены в виде функций деформаций. В нее помимо равенств (6.5) войдут соотношения

σx = D1/D, σy = D2/D, σz = D3/D,

где D, . . . , D3 – определители, которые требуются при решении системы первых из трех уравнений (6.6) по правилу Крамера. Вычисления выполняются с учетом формул (5.5) и (6.3):

1

1

−

ν

−

ν

1

2ν

3

3ν

2

2

(1

2ν)

−

−

(1 + ν)

−

D =

−

ν 1

−

ν

=

=

=

E

3

E

3

E

3

ν

ν

−

−

1

= (1 + ν)(1 − 2ν),

2GE2

1

εx −ν −ν

εx + ν2εy + ν2εz + νεy + νεz

−

ν2εx

D1

=

εy

1

−

ν

=

=

E

2

E

2

εz

ν

−

1

=

(1 + ν)[(1 − 2ν)εx + νε0]

,

E2

σx =

D1

=

2G

[(1

−

2ν)εx + νε0] = 2G εx +

ν

ε0

,

D

1

2ν

1

−

−

2ν

где ε0 = εx + εy + εz – объемная деформация (5.5). Далее надо применить правило круговой подстановки индексов и свести все равенства воедино:

σx = 2G εx +		νε0		, τxy = Gγxy,
	1		2ν
		−
		νε0
σy = 2G εy +				, τyz = Gγyz,		(6.7)
	1 − 2ν
		νε	0
σz = 2G εz +				, τzx = Gγzx.
	1		2ν
		−

92 Часть I

Здесь можно еще раз подчеркнуть различие между тензорами напряжений и деформаций. Если и в последних трех равенствах (6.7) коэффициент пропорциональности взять равным 2G, то вместо деформаций γxy, γyz, γzx пришлось бы написать половины этих величин.

6.4. Потенциальная энергия деформации. В абсолютно упругом теле работа внутренних сил численно равна потенциальной энергии деформации, накапливаемой при деформировании этого тела. В частности, для линейноупругого тела (см. первую из формул (4.3a))

W = Ay = σε/2,

где W – энергия, отнесенная к единице объема тела, т. е. удельная потенциальная энергия. Поскольку работу любого числа сил, приложенных к телу, можно складывать, в общем случае напряженного состояния

W = 0, 5(σxεx + σyεy + σzεz + τxyγxy + τyzγyz + τzxγzx).

(6.8)

Формулы (6.6) позволяют выразить энергию W изотропного тела только через напряжения. Несложные выкладки, выполненные с учетом равенства (6.3), дают

	W =	σx2 +σy2 +σz2 −2ν(σxσy +σyσz +σzσx)+2(1 + ν)(τxy2 +τyz2 +τzx2 )	. (6.8a)
		2E

Если же исключить в формуле (6.8) напряжения, что достигается при подстановке в нее закона Гука (6.7), то удельная потенциальная энергия предстанет как квадратичная функция деформаций:

	G		2 2	2		νε02		2 2 2
W =			2 εx + εy	+ εz	+			+ γxy + γyz + γzx .	(6.8b)
	2					1 − 2ν

Из формул (6.8a, b) видно, что потенциальная энергия тела – существенно положительная величина, которая обращается в нуль лишь при отсутствии всех напряжений и деформаций.

В свое время отмечалось, что работа деформации, а стало быть, и потенциальная энергия деформации связана с проблемой прочности тела, с такими свойствами материала, как хрупкость и пластичность. Отмечалось и то, что хрупкие и пластичные материалы ведут себя в предельном состоянии по-разному. Разрушение хрупких тел связано с растягивающими напряжениями, приводящими к трещинам разрыва, т. е. с изменением объема тела, тогда как при переходе в предельное состояние пластических материалов наблюдается скольжение одних частиц тела по другим, рост деформаций сдвига, что приводит к изменению формы тела. Поэтому оправданы попытки установить количественную меру предельного состояния материала при

Глава 6

93

помощи долей W0 и Wф полной энергии W , расходуемых на изменение объема и формы тела.

На рис. 6.2a изображен элементарный параллелепипед, содержащий рассматриваемую точку тела, а на рис. 6.2b, c указано разбиение действующих по его граням напряжений на две части. При любом значении напряжения σ параллелепипед, приведенный на рис. 6.2b, свою форму сохранит,

а потому энергия	σ εx + σ εy + σ εz		σ ε0
W =		=		(6.9)
	2		2

целиком уйдет на изменение его объема. Останется подобрать значение σ так, чтобы вторая часть нагрузки (см. рис. 6.2a) меняла только форму элемента. Пусть деформации εx, εy, εz отвечают напряжениям σx, σy, σz, т. е. связаны с ними законом Гука

εx = [σx − ν(σy + σz)]/E и т. д. Поскольку ε0 = εx + εy + εz = 0, т. е.

[σx + σy + σz − 2ν(σx + σy + σz)]/E = 0,

то

σx + σy + σz = 0.

Подстановка сюда формул для напряжений σ (см. рис. 6.2c) дает

σ = (σx + σy + σz)/3.

Это есть не что иное, как введенное в п. 2.7 нормальное октаэдрическое напряжение (2.17). Таким образом,

W0 = 0, 5σоктε0.

(6.9a)

Связать между собой величины ε0 и σокт можно, просуммировав первые три уравнения закона Гука (6.7):

3σокт = 2G ε0 +	3νε0	=	2G(1 + ν)	ε0 =	Eε0	.
	1 − 2ν		1 − 2ν
					1 − 2ν

94 Часть I

Тогда удельная потенциальная энергия изменения объема тела может быть представлена как функция только напряжений или только деформаций:

W0 =	3	1 − 2ν	σ2	, W0 =	1			E	ε2.	(6.9b)
	2 E				6
			окт					1 − 2ν 0

Энергию изменения формы проще всего найти как разность величин W и W0. Например (см. равенства (6.8a) и (6.9b)1),

1

Wф = W − W0 = 2G (τxy2 + τyz2 + τzx2 )+

+	1	σx2	+ σy2 + σz2	−	2ν(σxσy + σyσz + σzσx)	−	1 − 2ν	(σx + σy + σz)2
							3
	2E

или (после перехода к главным осям)

1

Wф = 6E [3(σ12 + σ22 + σ32) − 6ν(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1) − σ12 − σ22 − σ32+

+2ν(σ12 + σ22 + σ32) − 2(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1) + 4ν(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)] =

=	1 + ν	[(σ12 −	2σ1σ2 + σ22) + (σ22 − 2σ2σ3 + σ32) + (σ32 − 2σ3σ1 + σ12)] =
	6E
		=	1		[(σ1	− σ2)2 + (σ2	− σ3)2 + (σ3 − σ1)2].
				12G

Теперь нужно лишь опереться на формулу (2.18) для октаэдрических касательных напряжений и записать удельную потенциальную энергию изменения формы тела в окончательном виде:

	1	[(σ1	2		2	2		3	τокт2			(6.10)
Wф =			− σ2)	+ (σ2 − σ3)		+ (σ3 − σ1)	] =				.
	12G							4		G

Так напряжения на октаэдрических площадках оказались связанными с долями потенциальной энергии тела, накапливаемыми при качественно разных процессах деформирования.

6.5. Обобщенный закон Гука для анизотропного тела. Свойства анизотропного линейно-упругого материал, в отличие от изотропного, различны в различных направлениях. Поэтому анизотропный материал характеризуется уже не двумя независимыми константами, а гораздо большим´ их числом. Чтобы установить это число, надо записать в общем виде линейную связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций:

Глава 6

εx = a11σx + a12σy + a13σz + a14τxy + a15τyz + a16τzx,
εy = a21σx + a22σy + a23σz + a24τxy + a25τyz + a26τzx,
	· · ·		· · ·		· · ·
γzx = a σx + a σy + a σz + a τxy + a τyz + a τzx.
61	62	63		64	65	66

95

(6.11)

В формулах (6.11) через aij обозначены коэффициенты линейного физического закона анизотропного тела. Всего таких коэффициентов 36, но ввиду симметрии тензоров напряжений и деформаций матрица системы уравнений (6.11) также будет симметричной, т. е. aji = aij , и число различных коэффициентов уменьшится до 21. Это и есть число констант материала с произвольной анизотропией. Но для сред, структура которых как-то упорядочена, количество констант материала может быть значительно меньшим. В этом нетрудно убедиться, пользуясь формулой (6.8) для удельной потенциальной энергии тела. После подстановки в указанную формулу деформаций (6.11)

и приведения подобных членов, выполненного с учетом симметрии коэффициентов aij и закона парности касательных напряжений, получится следующий результат:

W = 0, 5a11σx2 +a12σxσy +a13σxσz +a14σxτxy +a15σxτyz +a16σxτzx+

+0, 5a22σy2 +a23σyσz +a24σyτxy +a25σyτyz +a26σyτzx+

+0, 5a33σz2 +a34σzτxy +a35σzτyz +a36σzτzx+

+0, 5a44τxy2 +a45τxyτyz +a46τxyτzx+

+0, 5a55τyz2 +a56τyzτzx+

+ 0, 5a66τzx2 . (6.12)

Пусть тело имеет одну плоскость симметрии упругих свойств и система координат выбрана так, что оси 0y и 0z находятся в этой плоскости. Пусть также плоскость 0yz является плоскостью симметрии и для распределения напряжений в теле. В этом случае при замене абсциссы x точки тела на значение −x величина энергии (6.12) останется прежней. Но при

96

Часть I

такой замене аргументов сменятся знаки у касательных напряжений τxy и τzx (см. рис. 6.3). Значит, энергия W сможет сохранить свое значение лишь при условии, что

и из 21 независимого коэффициента ненулевыми останутся только 13. Если в теле существуют две плоскости симметрии, то в нуль обратятся

еще и коэффициенты a15, a25, a35, a46. Такой же результат получается и для так называемого ортотропного тела, т. е. анизотропной среды с тремя плоскостями симметрии упругих свойств. Ортотропная среда характеризуется девятью постоянными, и если координатные плоскости совмещены с плоскостями симметрии упругих свойств, то физический закон материала будет иметь наиболее компактную запись:

εx = a11σx + a12σy + a13σz,	γxy = a44τxy,
εy = a21σx + a22σy + a23σz,	γyz = a55τyz,
εz = a13σx + a23σy + a33σz,	γzx = a55τzx.

(6.11a)

При иной системе координат матрица закона Гука для ортотропного тела может быть и полной, однако все элементы этой матрицы однозначно выражаются через девять независимых констант.

И последнее. В конце предыдущей главы был поставлен вопрос о том, как соотносятся друг с другом главные площадки по напряжениям и деформациям. Чтобы ответить на него, надо по формулам, приведенным в п. 2.3, найти направляющие косинусы l1, m1, n1 ортов нормалей к главным площадкам по напряжениям как функции компонент тензора напряжений:

l1(Tн), m1(Tн), n1(Tн),

а также направляющие косинусы (см. п. 5.4)

l1(Tд), m1(Tд), n1(Tд)

ортов нормалей к главным площадкам по деформациям как функции компонент тензора деформаций. Если в результате окажется, что

li = li, mi = mi, ni = ni, i = 1, 2, 3,

то площадки по главным напряжениям совпадут с площадками по главным деформациям. О таком совпадении и говорят как о соосности тензоров Tн и Tд. Выкладки здесь довольно громоздки, а потому они и не приводятся. Итог же таков: главные площадки по напряжениям и деформациям совпадают только для изотропных материалов.

ГЛАВА 7. РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

7.1. Полная система уравнений для изотропной среды. Итак, пусть заданы изотропное тело, способы его закрепления и внешнее воздействие. Требуется в любой точке тела найти:

–шесть функций напряжений σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx;

–шесть функций деформаций εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx;

–три функции перемещений u, v, w.

Эти 15 искомых функций связаны между собой системой 15 уравнений.

Кним относятся:

–три уравнения равновесия (2.6);

–шесть кинематических уравнений, взятых в форме (5.7) или (5.9);

–шесть физических уравнений, записанных в форме (6.6) либо (6.7). Таким образом, задача о напряженно-деформированном состоянии в точке тела является замкнутой: число искомых функций совпадает с числом связывающих их соотношений, называемых полной системой уравнений линейной теории упругости. Прилагательное "линейная", обычно опускаемое при отсутствии опасности возникновения путаницы, указывает на ту часть механики деформируемого твердого тела, которая имеет дело с материалом, подчиняющимся закону Гука.

Девять уравнений полной системы являются дифференциальными, и их интегралы должны удовлетворять граничным условиям задачи. Обычно на тех участках поверхности тела, к которым приложена нагрузка, не известны перемещения и там ограничения накладываются на напряжения (например, так, как о том говорилось в п. 2.2, 3.8). Наоборот, в местах размещения связей известны перемещения – в частности, равные нулю, – но не значения реакций связей. Граничные условия, формулируемые для напряжений или усилий, называют статическими, а ограничения, накладываемые на перемещения точек тела, – кинематическими граничными условиями. Однако чаще всего краевые условия задачи являются смешанными, т. е. состоят и из статических, и из кинематических ограничений на искомое решение.

Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений при накладываемых на различных участках поверхности тела ограничениях на искомые функции называется краевой. Следовательно, к краевым относится и обсуждаемая здесь задача теории упругости. При произвольных форме тела, нагрузке и граничных условиях краевая задача может быть решена только

∂2I1

98

Часть I

численно. Однако как бы ни строилось ее решение, прежде, чем приступить к вычислениям, целесообразно преобразовать полную систему уравнений к более простому виду. Такое преобразование можно выполнить различными способами. В любом случае оно начинается с выбора функций, подлежащих определению в первую очередь, – так называемых основных неизвестных задачи. Затем из полной системы уравнений при помощи подходящих исключений удаляются все остальные искомые функции. В итоге числа основных неизвестных и необходимых для их определения соотношений должны совпадать. Соотношения, связывающие основные искомые функции и достаточные для их определения, называют разрешающими уравнениями теории упругости. В зависимости от того, какой физический смысл имеют основные неизвестные, говорят о решении задачи в напряжениях, перемещениях

исмешанным методом.

7.2.Решение краевой задачи теории упругости в напряжениях. В

качестве основных неизвестных выбираются шесть функций напряжений. Разрешающие уравнения получают, подставляя в условия сплошности (5.9) деформации по закону Гука (6.6). После такой подстановки получатся шесть уравнений с шестью неизвестными напряжениями. Чтобы придать им более компактную форму, делаются еще некоторые преобразования с привлечением уравнений равновесия Навье. Ниже приводится только итог таких преобразований, записанный с использованием обозначения

	∆ =	∂2	+	∂2	+		∂2	(7.1)
		∂x2		∂y2		∂z2

для дифференциального оператора Лапласа, который предписывает дважды продифференцировать по x, y и z указанную за его символом функцию, а затем сложить вычисленные производные:

(1 + ν)∆σx + ∂2I1 = 0, ∂x2

(1 + ν)∆σy + ∂2I1 = 0, ∂y2

(1 + ν)∆σz + ∂2I1 = 0, ∂z2

(1 + ν)∆τxy + ∂2I1 = 0, ∂x∂y

(1 + ν)∆τyz + ∂2I1 = 0, ∂y∂z

(1 + ν)∆τzx + ∂z∂x = 0.

(7.2)

Обозначение I1 = σ1+σ2+σ3 для первого инварианта тензора напряжений было введено еще в главе 2. Зависимости (7.2) называют уравнениями Бельтрами – Мичелла. Они были выведены в 1892 г. Бельтрами в предположении, что объемные силы не зависят от координат точек тела (например, собственный вес однородного материала). Именно по этой причине величины X, Y ,

Глава 7

99

Z и не попали в уравнения (7.2). Через 7 лет Мичелл распространил решение Бельтрами на случай произвольных объемных сил. Формулы Мичелла здесь не приводятся.

Систему (7.2) нужно интегрировать вместе с уравнениями равновесия (2.6), удовлетворяя статическим граничным условиям. При записи последних используются формулы Коши (2.8). Если статические граничные условия сформулировать не удастся, то от решения задачи в напряжениях придется отказаться. В ином случае задача может быть решена, а после того, как станут известными все напряжения, можно будет найти сначала деформации (6.6), а затем обратиться к дифференциальным уравнениям (5.6) для отыскания перемещений u, v, w. При этом снова придется иметь дело с краевой задачей, но эта задача намного проще исходной.

7.3. Решение задачи теории упругости в перемещениях. Если основными неизвестными назначить перемещения u, v, w, то для их отыскания потребуется система всего из трех уравнений. Получить такую систему можно, если ввести деформации (5.7) в закон Гука (6.7) и подставить образовавшиеся зависимости напряжений от перемещений в уравнения равновесия (2.6). Результатом указанных подстановок (упрощающие преобразования опускаются) и являются разрешающие уравнения задачи в перемещениях:

1∂ε0 1 − 2ν ∂x

1 ∂ε0

1 − 2ν ∂y

1 ∂ε0

1 − 2ν ∂z

+∆u + G1 X = 0,

+∆v + G1 Y = 0,

+∆z + G1 Z = 0,

которые называют также уравнениями Ламе. В них

(7.3)

	ε0 = εx + εy + εz =	∂u	+	∂v	+	∂w
		∂x		∂y		∂z

– объемная деформация, равная первому инварианту тензора деформаций, а ∆ – оператор Лапласа (7.1).

Уравнения (7.3) интегрируются с учетом кинематических краевых условий. Если на поверхности тела задана нагрузка, то ее надо выразить через перемещения на этой поверхности, подставив в равенства Коши (2.8) напряжения по формулам (6.7), а затем исключить деформации при помощи зависимостей (5.7). После определения значений u, v, w простым дифференцированием находят деформации, а затем, с помощью закона Гука, – и напряжения.

100

Часть I

Если краевые условия трудно преобразовать только к статическим или только к кинематическим граничным условиям, то можно попытаться построить решение задачи смешанным методом. Это означает, что в качестве основных неизвестных берутся частично напряжения и частично перемещения. Варианты здесь могут быть самыми разными и заниматься их анализом имеет смысл лишь тогда, когда в этом возникает практическая необходимость.

7.4. Единственность решения задачи теории упругости. В тех случаях, когда физическая проблема принимает математическую форму, необходимо не только уметь строить решение соответствующей математической задачи и тем самым убеждаться в его существовании, но и анализировать полученный результат еще с одной стороны. А именно: нужно выяснить, сколько решений имеют уравнения, описывающие исследуемое явление, и каков физический смысл каждого из них. Довольно часто такой анализ более сложен, чем получение самого решения. Однако к линейной теории упругости сказанное отношения не имеет: задача о напряженно-деформированном состоянии тела, материал которого следует закону Гука, имеет единственное решение, что легко доказать, рассуждая от противного.

Пусть при одних и тех же нагрузке, граничных условиях, материале и размерах тела разрешающие уравнения краевой задачи, взятые, например, в форме (7.2) и (2.6), имеют два различных решения

(a) σx, σy, . . . , τzx;

(b) σx, σy , . . . , τzx.

Так как система уравнений (7.2) и (2.6) линейна, то справедлив принцип суперпозиции, согласно которому и разность решений (a) и (b) – снова решение задачи, притом то, которое отвечает разности воздействий на тело. Говоря иначе, напряжения

σx = σx − σx, σy = σy − σy , . . . , τzx = τzx − τzx

(7.4)

тоже должны удовлетворять и уравнениям (7.2), (2.6), и граничным условиям, но уже при отсутствии внешнего воздействия. Но если нет нагрузки, то и ее работа, и та потенциальная энергия деформации, в которую работа внешних сил переходит, окажутся равными нулю. Энергия W – существенно положительная функция (см. п. 6.4), в нуль она обращается только при нулевых значениях всех своих аргументов (7.4). Следовательно,

σx = σx, σy = σy , . . . , τzx = τzx,

а это и означает единственность решения задачи теории упругости для напряжений. Отсюда по линейному физическому закону (6.6) следует и единственность решения для деформаций εx, εy, . . . , γzx.