21. Основные методы интегрирования.

1.();

2.;

Примеры применения правил 1,2:

.

3.Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого: если, то.(Док-во: если, то). Пример:.

4.Подведение под знак дифференциала постоянного множителя: если, то.

(Док-во: если , то). Пример:.

Приёмы 3, 4 легко комбинируются: если , то. Пример:.

Замена переменной в неопределённом интеграле (интегрирование подстановкой).

Пусть . Тогда. Здесьt(x) - дифференцируемая монотонная функция.

Док-вонепосредственно следует из формулы для производной сложной функции. Перепишем первый интеграл, заменив переменнуюxнаt:. Это означает, что. Заменим независимую переменнуюtна функциюt=t(x):. Следовательно, функцияF(t(x)) является первообразной для произведения, или.

При решении задач замену переменной можно выполнить двумя способами.

1. Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя, иf(t(x)), и, то замена переменной осуществляется подведением множителяпод знак дифференциала:, и задача сводится к вычислению интеграла. Например,(задача сведена к вычислению, гдеt=cosx)(аналогично находится интеграл от);(задача сведена к вычислению, гдеt=sinx).

2.Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к новой переменной. Так, вимеет смысл перейти к переменной (сделать подстановку)t=sinx. Выражаем все множители подынтегрального выражения через переменнуюt:; в результате(возвращаемся к исходной переменной).

22. Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) иv(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведенияd(uv) =u∙dv +v∙du. Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом):. Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных ():. Примеры:.

.

Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u= …,dv= …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде:

.

23. Рациональные дроби.

О: Рациональной дробью называется функция где— заданные коэффициенты,Рациональная дробь называется правильной, если m< n, неправильной, еслиВсякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Действительно, пусть— неправильная рациональная дробь. Разделим числитель на знаменатель, получимk < n, гдеи остаток— многочлены, а— правильная рациональная дробь.

Пример:

Таким образом,— остаток. Первый из этих интегралов легко вычисляется. Для того чтобы вычислить второй интеграл, надо подынтегральную функцию представить в виде суммы так называемых простейших рациональных дробей, а затем их проинтегрировать. Для этого рассмотрим простейшие рациональные дроби.

Простыми дробями называются рациональные функции следующих четырёх типов: 1. . 2. . 3. ,. 4. ,

Интегралы от дробей первых двух типов - табличные интегралы: 1.2.3.() приводятся к табличным выделением полного квадрата в трёхчлене:. Смысл этих преобразований: слагаемоеMxв числителе превращаем в производную получившегося знаменателя; второе слагаемое в числителе отxне зависит. Теперь относительно переменнойинтеграл свёлся к, где,. Первый интеграл, второй - один из табличных интегралов

4.() берутся с применением той же техники. После приведения подынтегральной функции к видуотносительно переменнойинтеграл сводится к. Первый интеграл