11. Теоремы ролля, лагранжа, коши. Геометрическое истолкование.

ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. Пусть функция f(х): 1. непрерывна на отрезке [a,b]; 2. дифференцируема в каждой точке интервала (a,b); 3. принимает на концах отрезка равные значения:f(a) =f(b). Тогда на интервале (a,b) найдётся точкас, в которой производная функции равна нулю:f'(с) = 0. Док-во.f(х) непрерывна на [a,b], поэтому принимает на этом отрезке своё наименьшееmи наибольшееMзначения. Возможны случаи: 1.m=M. Это означает, что функция постоянна на [a,b]:f(х) =m=M. Тогда в каждой точкес[a,b]

f'(с) = 0. 2.m<M. Так какf(a) =f(b), то хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точкесотрезка. Тогдаf'(с) = 0. Геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось ох в точках с абсциссами а и в, то на этой кривой найдется одна точка с абсциссой с, в кот касательная || ох.

ЛАГРАНЖ. Пусть на отрезке [a;b] определена функция y=f(x), она непрерывна на этом отрезке и дифференцируема в интервале (a;b), тогда есть такая точка С, принадлежащая (a;b), для которой справедливо:. Док-во: рассмотрим вспомогательную функциюF(x)=f(x)-f(a)- , она удовлетворяет всем трём условиям теоремы Роля: 1) функция непрерывна, как разность двух функцийy1=f(x), y2=f(a)+, 2)F(x) дифференцируема на (a;b) F ’(x)=f ’(x)-0-, 3)F(a)=0, F(b)=0, F(a)=F(b). Тогда по теореме Ролля существует такая точка С, что F ’(C)=0. F’(C)=f ’(C)-=0,. Замечание: равенствоf(b)-f(a)=f ’(C)(b-a) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Геометрическое истолкование: если во всех точках дуги АВ существует касательная, то на этой дуге найдется С, к кот касательная || хорде, соединяющей точки А и В.

КОШИ. Пусть функции f(x) g(x) непрерывны на отрезке [a;b], и g’(x)0, тогда существует такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), для которой справедлива формула: . Док-во: данная формула имеет смысл в случае, еслиg(b)g(a). Если бы эти значения были бы равны, то по теореме Ролля для функции g(x) нашлась бы такая точках0, что g’(x0)=0. по условию g’(x)0, значит g(b)g(a). Составим вспомогательное уравнение: F(x)=f(x)-f(a)- . Это уравнение удовлетворяет всем трём условиям теоремы Ролля, тогда по теореме Ролля для функцииF(x) найдётся такая точка С, что F’(c)=0. F’(C)=f ’(C)-=0,.

Замечание: эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных производных.

12. Возрастание и убывание ф-ии.

Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функцияимеет производную в каждой точке интервала (a,b). Для того, чтобы эта функция была монотонно возрастающей на интервале (a,b), необходимо и достаточно выполнение условиядля. Для того, чтобы функциябыла монотонно убывающей на интервале, необходимо и достаточно выполнение условиядля.

Док-во. Необходимость. Еслиf(x) монотонно возрастает, то для любых , при выполняется .

Достаточность. Пустьдля,. По формуле конечных приращений Лагранжа, т.е.монотонно возрастает на (a,b).

Случай монотонного убывания рассматривается аналогично.

Вслучае, рассмотренном вТеор.8.2.1, мы не исключаем для функцииf(x) возможность оставаться постоянной на некотором подынтервале( и, как следствие, для её производной быть равной нулю на этом подынтервале). Если эту возможность исключить, получим условиястрогоймонотонности функции на интервале:

Теор.8.2.2. Условие строгого возрастания функции на интервале. Пусть функцияимеет производную в каждой точке интервала (a,b). Для того, чтобы эта функция строго возрастала на интервале (a,b), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1.для;

2.не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала.

Док-во. Необходимость. Еслиf(x) строго возрастает, то, потеор.8.2.1для; при этомне обращается в нуль ни на каком подынтервале этого интервала, так как в этом случае потеор.8.1была бы постоянной на этом подынтервале, что противоречит условию строгого возрастания.

Достаточность. Если выполняются условия теоремы, то, потеор.8.2.1,f(x) не убывает. Предположим, что для двух точек и интервала (a,b) значения функции равны:. Тогда, вследствие неубыванияf(x), для, т.е.постоянна нана этом интервале, что противоречит второму условию теоремы. Случай строгого убывания рассматривается аналогично.