- •1. Задачи, приводящие к понятию производной, о касательной, о скорости, касательной и нормали.
- •2. Общее определение производной. Различные обозначения.
- •3. Зависимость между непрерывностью и дифф. П-ры непрерывных ф-й.
- •4. Основные правила дифференцирования.
- •5. Производная сложной функции.
- •6. Неявная функция и ее дифференцирование.
- •7. Дифференцирование сложной показат ф-ии. Метод логариф дифф.
- •8. Обратная функция и ее дифференцирование, тригоном.
- •9. Параметрическое задание ф-ии.
- •10. Дифференциал.
- •11. Теоремы ролля, лагранжа, коши. Геометрическое истолкование.
- •12. Возрастание и убывание ф-ии.
- •13. Экстремумы функций.
- •14. Выпуклость и вогнутость ф-ии.
- •15. Исследование ф-и с помощью первой и второй. Общая схема.
- •16. Точки разрыва функции. Асимптоты.
- •17. Комплексные числа.
- •18. Тригонометр форма. Возведение в степень и корень.
- •19. Формула эйлера. Показательная форма.
- •20. Первообразная, неопределнный, св-ва.
- •21. Основные методы интегрирования.
- •22. Интегрирование по частям.
- •23. Рациональные дроби.
- •24. Разложение рацональной дроби. Метод неопределенных коэфф-в.
- •26. Интегрирование простейших иррациональностей.
- •28. Универсальная тригонометрическая подстановка.
- •27. Интегрирование тригонометрических ф-й
- •29. Понятие о неберущихся интегралов.
- •30. Определенный интеграл. Понятия и определения.
- •31. Вычисление определнного интеграла. Формула нбютона – лейбница.
- •32. О.И. С переменным верхним пределом.
- •33. Геометрический и физический смысл о.И.
- •34. Св-ва о.И. Теорема о среднем.
- •35. Инт по частям и замена в ои.
- •36. Несобственные интегралы.
- •37. Геометрическое и физическое приложения ои.
- •38. Ф-я нескольких переменных. Область опред, линии уровня.
- •39. Частное и полное приращение. 1 порядка.
- •41. Производная по направлению. Градиент.
- •42. Чп высших порядков.
- •43. Макс и мин ф-и 2 переменн. Наиб и наим значения.
24. Разложение рацональной дроби. Метод неопределенных коэфф-в.
Пусть знаменатель правильной рациональной дроби представлен в виде ,. Тогда дробьf(x) единственным (с точностью до порядка слагаемых) образом может быть представлена как суммы простых дробей следующей структуры
.
Неопределённых коэффициентов метод,метод, применяемый для отыскания коэффициентов выражений, вид которых заранее известен. Так, например, на основании теоретических соображений дробьможет быть представлена в виде суммыгдеА, ВиС- коэффициенты, подлежащие определению. Чтобы найти их, приравнивают второе выражение первому:и, освобождаясь от знаменателя и собирая слева члены с одинаковыми степенямих,получают: (А+В+С)х2+ (В-С)х-А= 3x2- 1. Так как последнее равенство должно выполняться для всех значенийх,то коэффициенты при одинаковых степеняхх справа и слева должны быть одинаковыми. Т. о., получаются три уравнения для определения трёх неизвестных коэффициентов:А+В+С= 3,В-С= 0,А= 1, откудаА=В=С= 1. Следовательно,
25. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ.
Для интегрирования рациональной функции , гдеP(x) иQ(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов: 1. Если дробь неправильная (т.е. степеньP(x) больше степениQ(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение. 2.Разложить знаменательQ(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений; 3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используяметод неопределенных коэффициентов; 4.Вычислить интегралы от простейших дробей.
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателяQ(x)), разделим многочленP(x) наQ(x). Получим следующее выражение:
где - правильная рациональная дробь.
Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби
Запишем многочлен знаменателя Q(x) в видегде квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде:
.
Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ...должно быть равно степени знаменателяQ(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменательQ(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенямиx. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентовAi , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собойметод неопределенных коэффициентов.
Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих формул: 1. 2.У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат:
26. Интегрирование простейших иррациональностей.
Интегралы вида, гдеn- натуральное число,- функция, рационально зависящая от своих аргументов. Пример такой функции -. Как видно из этого примера, к рассматриваемому типу сводятся интегралы вида, гдеp,q,r, … - рациональные числа, так как, еслиn- общий знаменатель чиселp,q,r, …, то подынтегральная функция рационально зависит отxи. Подстановкаx=t nрационализирует подынтегральную функцию, т.е. сводит её к рациональной функции переменнойt. Пример:. Наименьшее общее кратное показателей корней равно 6, поэтому применяем подстановкуx=t 6:
.
Интегралы вида, гдеa,b,c,d- постоянные, остальные параметры имеют тот же смысл, что и в предыдущем разделе, рационализируются подстановкой. Пример:.