41. Производная по направлению. Градиент.

Пусть имеется функция u = f(x,y,z), определённая в областиV. Пусть точкаM₀(x₀,y₀,z₀)– внутренняя точка областиV, то есть областиVпринадлежит и некоторая окрестность точкиM₀. Пусть через точкуM₀проходит прямаяl. Единичный векторe, направленный по этой прямой имеет вид: ,   где a , b , g   –  углы прямой соответственно с осями ох, он, оz .Рассмотрим другую точку на этой прямой. Обозначим расстояние между этими точками через. Тогда предел (если он существует) называетсяпроизводной функции в точке M₀ по направлению этой прямойи обозначаетсяили.Теорема.  Если f (х, у, z ) дифференцируема в некоторой окрестности точки M₀ (например, имеет непрерывные    частные производные), то  . (1)Доказательство. Положим для удобства.Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид:Это следует из того, что. Тогда можно записать:. То есть имеем сложную функцию. Ищем производную:.Применяя формулу дифференцирования сложной функции, находим в любой точке t :. (2) Замечание.Выясним, как нужно выбрать направление, чтобы производная по этому направлению была бы наибольшей. С этой целью введём в рассмотрение вектор. (3) Этот вектор называетсяградиентомфункцииf(М). Кратко обозначается g r a d f .Найдём скалярное произведение вектора g r a dfи единичного вектора . Мы получили формулу (2). Отсюда следует важный вывод освязипроизводной по направлению и градиента:производная функции f (М)по направлению l равна скалярному произведению градиента функции в указанной точке и единичного вектора заданного направления..  (4) Из этого соотношения очевидным образом следует, что наибольшее значениебудет тогда, когда, то есть, когда направлениеe совпадает с направлением градиента.Определение 1. Производной функции u  =f (х, у, z ) =f(М) в точке M₀ в направлении данного вектора l называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения точки М по этому направлению, когда Определение 2. Градиентом функции u =f(М) в данной точке M₀называется вектор, имеющий своим началом эту  точку M₀, а своими координатами –  значения частных производных функции f (М) в точке M₀. Градиент направлен по нормали к поверхностиu  = f (х, у, z )в точкеM₀.

42. Чп высших порядков.

Производные высших порядков от функции многих переменных. Пусть функция двух независимых переменных     u  = f (х, у)    имеет частные производные: ,.Это, в свою очередь, снова функции двух переменных, которые снова можно дифференцировать, и определяются эти новые производные по той же схеме. Например: , .Обозначение производных второго порядка: Последние две производные называются смешанными.Полный дифференциал d z функции нескольких переменных есть, в свою очередь, функция тех же переменных и мы можем определить полный дифференциал этой последней функции. Например: . .для дифференциала любого порядка в случае, когда переменные независимые: .Если же d х и d у нельзя считать постоянными, то эта формула уже не будет справедлива. Действительно:

43. Макс и мин ф-и 2 переменн. Наиб и наим значения.

Определение: Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM₀(x₀;y₀)- внутренняя точка областиD. Если вDприсутствует такая окрестностьUM₀точкиM₀, что для всех точекто точкаM₀называется точкой локального максимума. А само значениеz(M₀)- локальным максимумом. А если же для всех точекто точкаM₀называется точкой локального минимума функцииz(x,y). А само значениеz(M₀)- локальным минимумом. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функцииz(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума:M₀- точка максимума, так как на поверхностиz =z (x,y)соответствующая ей точкаC₀находится выше любой соседней точкиC(в этом локальность максимума). Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например,В), которые находятся вышеC₀, но эти точки (например,В) не являются "соседними" с точкойC₀. В частности, точкеВсоответствует понятие глобального максимума:Аналогично определяется и глобальный минимум:Теорема 1.3 (необходимые условия экстремума). Пусть задана функцияz =z (x,y), (x,y)D. ТочкаM₀(x₀;y₀D- точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'_xиz'_y, то

Определение 1.12. Если в точке M₀выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функцииz (x,y). Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точкиM₀(x₀,y₀)D. ПричемM₀- стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Если:

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой областиDплоскостиXOY, ,– точки этой области. Значение функции в точке называетсянаибольшим, если для любой точки из областиDвыполняется неравенство . Аналогично значение функции в точке называетсянаименьшим, если для любой точки из областиDвыполняется неравенство . если функция непрерывна, а областьD– замкнута и ограничена, то функция принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. При этом точки и могут лежать как внутри областиD, так и на ее границе. Если точка (или ) лежит внутри областиD, то это будет точка максимума (минимума) функции , т.е. критическая точка функции внутри областиD. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в областиDнужно: 1.найти все критические точки функции внутри областиD; 2. вычислить значения функции в критических точках; 3. найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе областиD; 4.из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.