9. Параметрическое задание ф-ии.

Пусть даны два уравнения гдеφ,ψ– однозначные функции, определенные на отрезке[t₁, t₂]. Значениюt [t₁, t₂]будут соответствовать значенияx,y, при этом на координатной плоскостиOxyмы получим точкуP(x, y). Когдаtизменится отt₁доt₂, точкаPна координатной плоскостиOxyопишет некоторую кривую. Определение 2. Уравнения (5) называются параметрическими уравнениями кривой, числоtназывается параметром, а способ задания кривой уравнениями (5) называется параметрическим.

Если функция x = φ(t)имеет обратную функциюt = Ф(x), то y является функцией отx:y=φ(Ф(x))илиy = f (x). Определение 3. Задание функцииy = f (x)при помощи уравнений (5) называется параметрическим заданием функции. Если функцияx = φ(t)не имеет обратной функции, то, исключая параметрtиз уравнений (5), мы получим неявную функциюF(x, y).Окружность.Если центр окружности находится в начале координат, то координаты любой ее точки могут быть найдены по формулам:0t360⁰. Если исключить параметрt, то получим каноническое уравнение окружности:x²+y²=r²(cos²t+sin²t) =r².Эллипс.

Каноническое уравнение: . Для произвольной точки эллипса М(х, у) из геометрических соображений можно записать: изОВР и изOCN, где а- большая полуось эллипса, аb- меньшая полуось эллипса, х и у – координаты точки М. Тогда получаем параметрические уравнения эллипса: , где  0t2. Уголtназываетсяэксцентрическим углом. Циклоида.

 

Определение.Циклоидойназывается кривая, которую описывает некоторая точка, лежащая на окружности, когда окружность без скольжения катится по прямой. Пусть окружность радиуса а перемещается без скольжения вдоль оси х. Тогда из геометрических соображений можно записать:OB= =at;PB=MK=asint;MCB=t; Тогдаy=MP=KB=CB–CK=a–acost=a(1 –cost).x=at–asint=a(t–sint).

Итого:  при 0t2- это параметрическое уравнение циклоиды. Если исключить параметр, то получаем:

Как видно, параметрическое уравнение циклоиды намного удобнее в использовании, чем уравнение, непосредственно выражающее одну координату через другую. Астроида. Данная кривая представляет собой траекторию точки окружности радиусаR/4, вращающейся без скольжения по внутренней стороне окружности радиусаR.

Параметрические уравнения, задающие изображенную выше кривую, , 0t2, Преобразуя, получим: x^2/3+y^2/3=a^2/3(cos²t+sin²t) =a^2/3.

Производные, заданные параметрически.

Пусть у(х) задана параметр у-ми . Предположим, что у-я имеют производные и что ф-яx = φ(t)имеет обратную функциюt = Ф(x), кот так же имеет производную. Тогда y=f(x) можно записать как y=ψ(t), t = Ф(x), где t – промежуточный y’_x=y’_t*t’_x= ψ’_t(t)*Ф’_x(x). Ф’_x(x)=1/φ’_t(t). => ψ’_t(t) * Ф’_x(x)= ψ’_t(t)* 1/φ’_t(t). => y’_x= ψ’_t(t)/ φ’_t(t), y’_x= y’_t/x’_t.

Пример:

. Тогда. В этом примере легко получить явную зависимостьуотх:. Подставим сюда зависимостьхотt:. Как и следовало ожидать, получен тот же результат.

10. Дифференциал.

Определение дифференцируемости и дифференциала. Пусть функцияy=f(x) определена в точкехи некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точкех. Тогда приращениюхаргумента соответствует приращениеу=f(x+х)-f(x), бесконечно малое прих0. В особый класс дифференцируемых функций выделяются функции, для которыхус точностью до бесконечно малой высшего порядка по сравнению схлинейна пох. Более точно:Опр.6.2. Функцияy=f(x) называетсядифференцируемойв точкех, если её приращениеув этой точке можно представить в виде , гдеА- не зависящая отх величина,(х) - БМ высшего порядка по сравнению сх: прих0.Опр.6.3. Главная часть приращенияудифференцируемой функции, линейная относительно приращенияхаргумента (т.е. ), называетсядифференциалом функции и обозначаетсяdy(илиdf(x)).

Связь между дифференцированием и дифференцируемостью даёт Теор.. Для того, чтобы функцияy=f(x) имела в точкехконечную производнуюy'=f'(x), необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируемой в этой точке.Док-во. Необходимость.Пусть в точкехсуществует конечная производнаяy'. Потеор.6.2 о приращении функции, имеющей производную,у= у'(x)х+(х)х, где(х) - бесконечно малая функция прих0. Сравнивая это выражение с определением6.2, делаем вывод:А= у'(x), БМ(х)химеет более высокий порядок по сравнению сх, т.е.f(x) действительно дифференцируема в точкех.Достаточность. Пустьf(x) дифференцируема в точкех, т.е. её приращениеуможно представить в виде , гдеА- не зависящая отх величина,(х) - БМ высшего порядка по сравнению сх: прих0. Тогда. Следовательно, существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е. у'(x), иу'(x)=А. Таким образом, для функции одной переменной существование производной и дифференцируемость - эквивалентные свойства. При этом коэффициентАвсегда равену'(x), и выражение для дифференциала приобретает видdy = у'(x)х. Для независимой переменнойхпринимаютdх= =х(формально это можно обосновать так: еслиу=х, тоу'(x)=1, иdy = dх =х). Итак, окончательное выражение для дифференциала имеет вид . Важно осознать, что в этом выражении не обязательно пониматьdхкак бесконечно малую,dх-произвольноене зависящее отхприращение аргумента (но именно приdх0 иdу0, и призведениеу'(x)dх=dy становится главной частью приращения функции). Так каку'(x)=tg() - угловой коэффициент касательной, то геометрически дифференциалdy- это приращение ординаты касательной при смещении абсциссы наdх =х. Значениеdyможет значительно отличаться от приращения функцииу, но при достаточно малыхх(в окрестности точки касания) они близки (участокАВграфика функции).

Инвариантность формы первого дифференциала. Здесь мы рассмотрим одно важное свойство дифференциала, следующее из формулы для производной сложной функции (раздел6.5.5. Производная сложной функции): если функции и имеют в соответствующих точках производные и , то производная сложной функции равна .

Если х- независимая переменная, то формула для дифференциала: . Если , то . Таким образом, независимо от того, является лихнезависимой переменной, или сама эта переменнаяхявляется функцией другой переменнойt, формула для нахождения дифференциала первого порядка одна и та же. Это свойство и называетсяинвариантностью формы первого дифференциала, и часто применяется в теории и решении задач. Ниже (раздел6.10) мы с помощью этого свойства выведем формулу для производной функции, заданной параметрически.

правил дифференцирования:;;;.

Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Именно близость исходной функции и её касательной в окрестности точки касания служит источником многочисленных приближённых формул для вычисления значений функций. Потеор.6.2(раздел6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную)у= у'(x)х+(х)х, где(х) - БМ прих0; с учётом того, чтоу'(x)х=у'(x)dх=dy, пренебрегая бесконечно малым слагаемым высшего порядка по сравнению сх, получиму  dу. Так каку=у(x+х)- у(x), то формула для приближённого значенияу(x+х) будет иметь виду(x+х)  у(x)+ у'(x)х. На практике этой формулой пользуются так. Пусть требуется вычислить значение функции в точкех₁. Подбирают близкую к точкех₁точкуx, в которой легко вычислить точное значениеу(x) иу'(x), тогдах= х₁- хиу(x+х)  у(x)+ у'(x)х. Примеры:

1. Вычислить . В этом случае, функция и производная легко вычисляется в близкой точкех=32,у(х)=2,у'(х)=1/(5*2⁴)=1/80,х₁=30,х=30-32= -2, и

2-2/80 = 1.975 (более точное значение 1.97435).

2. Вычислить sin(0.5).y(x)=sinx,y'(x)=cosx, в качествехпримемx =/60.524,х₁=0.5,

х=0.5-0.524= -0.024,y(x)=0.5, y'(x)=0.866,y(х₁)0.5 - 0.024*0.8660.5-0.021=0.479 (более точное значение 0.47943).

Теорема.Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента. Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написатьу'_х=у'_u•u'_x.Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у'_хdx=у'_u•u'_хdx. Но у'_хdx=dy и u'_хdx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать такdy=у'_udu.Сравнивая формулы dy=у'_х•dx и dy=у'_u•du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.