37. Геометрическое и физическое приложения ои.

1. Окружности, проходящие через начало системы координат. Уравнение окружности с центромрадиуса:. Если окружность проходит через начало координат, то, и уравнение принимает вид. В полярных координатах это уравнение выглядит так:. На рисунке справаприведены три такие окружности (), (), ().

2. Спирали: спираль Архимеда . Логарифмическая спираль .

Гиперболическая спираль .

3. Кардиоида. Декартово уравнение кардиоиды:; Параметрические уравнения кардиоиды:

4. Лемниската Бернулли.

Подкоренное выражение неотрицательно при и. Декартово уравнение лемнискаты. Лемниската - геометрическое место точектаких, что, гдеи- фокусы лемнискаты.

5. Четырёхлепестковая роза. Декартово уравнение. Каждая точкаэтой кривой - основание перпендикуляра ОМ, опущенного из начала координат на отрезок АВ постоянной длины 2а, движущийся так, что его концы находятся на осях координат.

6. ЦиклоидаЭта кривая - траектория точки М(х, у) окружности радиуса а, которая без скольжения катится по оси ох. В начальный моментt=0 точка находится в точкаO(0;0).

7. АстроидаДекартово уравнение. Каждая точка М(х, у) этой кривой - основание перпендикуляраPM, опущенного из начала координат на отрезокABпостоянной длиныa, движущийся так, что его концы находятся на осях координат. ТочкаP- вершина прямоугольника, построенного на отрезкеABкак диагонали.

Площадь плоской области. Декартовы координаты.

Область задана в полярных координатах..

Длина кривой в декартовых координатах..

Кривая задана параметрически

Кривая задана в полярных координатах..

Объёмы тел вращения.

Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений.

Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси

Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой и двумя полярными радиусамии, вокруг полярной осинаходится по формуле .

Вычисление работы с помощью определённого интеграла.1)     Если сила постоянна, то работа выражается следующим образом. 2)     Если сила переменная величина, то.

Путь, пройденный телом

38. Ф-я нескольких переменных. Область опред, линии уровня.

Пусть M–некоторое множество пар действительных чисел (x,y), L–некоторое множество действительных чисел. Функцией двух переменных называется правило, по которому каждой паре чиселсоответствует единственное число, при условии, что каждое числосоответствует хотя бы одной паре . При этом x и y называют независимыми переменными, или аргументами, z–зависимой переменной, или функцией переменных х и у, множество М–областью определения функции, L–множеством значений, или областью изменения функции. Обозначают: . Если паре соответствует число , то пишут , или . Числоz0 называют при этом частным значением функции при . Так как каждой паре чисел (x,y) соответствует единственная точкаP(x,y) плоскости Оху и обратно, каждой точкеP(x,y) соответствует единственная пара чисел (x,y), то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки и писатьf(P) вместоf(x,y). В этом случае областью определения функции является некоторое множество точек плоскости Оху. Если значение принять за аппликату соответствующей точки пространства, то множество таких точек образуют, вообще говоря, некоторую поверхность, которую называют графиком функции (рис.15). Если функция задана с помощью аналитического выражения, то областью ее определения считают множество всех таких точек плоскости Oxy, для которых это выражение имеет смысл и дает действительные значения функции. Например, функция z=2x+3y–1 определена на всей плоскости Oxy, графиком ее является плоскость; функция определена при , то есть–внутри круга радиуса r=1 с центром в начале координат, график этой функции–полусфера радиуса R=1. Определение функции двух переменных легко обобщить на случай большего числа переменных. Так, функцией трех переменных называется правило, по которому каждой тройке действительных чисел соответствует единственное действительное число , при условии, что каждое число соответствует хотя бы одной тройке. Обозначают: , . Областью определения функции трех переменных является некоторое множество точек в пространстве. Саму функцию трех переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно. Графиком линейной функцииz = ax + by + с является плоскость в пространствеOxyz, а графиком функцииz = сonstслужит плоскость, параллельная координатной плоскостиOxyz. Представление о форме поверхности может дать метод линий уровня. Геометрическое место точек плоскости, в которых функция z=f(x,y) принимает постоянные значения, называется линией уровня. Это линия пересечения поверхности z=f(x,y) с плоскостью z=c и ортогонально ориентированная на плоскость Oxy. Сделав несколько таких сечений плоскостями z=c, которые отстоят одна от другой на равные расстояния, вычертив линии уровня, можно составить представление о самой поверхности. Там, где линии проходят близко друг к другу, поверхность изменяется круто, а значит и функция изменяется быстрее по сравнению с изменением функции в тех местах, где расстояние между соседними линиями больше. Поверхностью уровня функции трех переменныхx,y,zназывается геометрическое место точек в пространстве, в которых функцияu(x,y,z) принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид:u(x,y,z)=c.