39. Частное и полное приращение. 1 порядка.

Пусть в некоторой области задана функция z=f(x,y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращениех к переменной х. Тогда величина_xz=f(x+x,y) –f(x,y) называетсячастным приращением функции по х. Можно записать . Тогда называетсячастной производной функцииz=f(x,y) по х. Обозначение: Аналогично определяется частная производная функции по у. Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точкеN₀(x₀,y₀,z₀) к сечению поверхности плоскостью у = у₀.Полное приращение и полный дифференциал. Определение.Для функцииf(x,y) выражениеz=f(x+x,y+y) –f(x,y) называетсяполным приращением. Если функцияf(x,y) имеет непрерывные частные производные, то Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь ;Тогда получаем

40. ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.Приращение, которое получает функция Z=f(x, y), когда изменяется только одна из переменных, называется частным приращением функции по соответствующей переменной: Δ_xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), Δ_yZ=f(x,y+Δy)-f(x,y). ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения Δ_xZ=f(x+Δx,y)-f(x,y), пропорциональная приращению Δx независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. Δ_yZ=f(y+Δy,x)-f(x,y). Дифференциалы независимых переменных х и у просто равны их приращениям, т.е. dx=Δx, dy=Δy. Частные дифференциалы обозначаются так: d_xZ -частный дифференциал по х, d_yZ - частный дифференциал по у. При этом:Таким образом, частный дифференциал функции двух независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной. Таким же образом, как для функции двух переменных, определяются частные приращения и частные дифференциалы функций любого числа независимых переменных. Приращение, которое получает функция Z=f(x,y) при произвольных совместных изменениях ее обоих аргументов называется полным приращением: ΔZ=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y). ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных. Теорема. Полный дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных. dZ=f'_x(x,y)dx+f'_y(x,y)dy илиТак какdx=d_xZ иdy=d_yZ, то dZ=d_xZ+d_yZ, т.е. дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме ее частных дифференциалов. Определение дифференциала переносится на функции любого числа независимых переменных. Пример 7.Найти dz . Найдем частные производные

Следовательно,Применение дифференциала в приближённых вычислениях. Именно близость исходной функции и её касательной в окрестности точки касания служит источником многочисленных приближённых формул для вычисления значений функций. Потеор.6.2(раздел6.4. Формула для приращения функции, имеющей производную)у= у'(x)х+(х)х, где(х) - БМ прих0; с учётом того, чтоу'(x)х=у'(x)dх=dy, пренебрегая бесконечно малым слагаемым высшего порядка по сравнению сх, получиму  dу. Так каку=у(x+х)- у(x), то формула для приближённого значенияу(x+х) будет иметь виду(x+х)  у(x)+ у'(x)х. На практике этой формулой пользуются так. Пусть требуется вычислить значение функции в точкех₁. Подбирают близкую к точкех₁точкуx, в которой легко вычислить точное значениеу(x) иу'(x), тогдах= х₁- хиу(x+х)  у(x)+ у'(x)х. Примеры:

3. Вычислить . В этом случае, функция и производная легко вычисляется в близкой точкех=32,у(х)=2,у'(х)=1/(5*2⁴)=1/80,х₁=30,х=30-32= -2, и

2-2/80 = 1.975 (более точное значение 1.97435).

4. Вычислить sin(0.5).y(x)=sinx,y'(x)=cosx, в качествехпримемx =/60.524,х₁=0.5,

х=0.5-0.524= -0.024,y(x)=0.5, y'(x)=0.866,y(х₁)0.5 - 0.024*0.8660.5-0.021=0.479