29. Понятие о неберущихся интегралов.

не всякая подынтегральная функция имеет первообразную, которая может быть выражена в элементарных функциях.

К таким интегралам можно отнести: , и многие другие.

Так, например, та из первообразных которая обращается в нуль приx=0, называется функцией Гаусса и обозначается Ф(x). Таким образом,, если .

Эта функция хорошо изучена. Составлены подробные таблицы ее значений при различных значениях. Графически это можно представить

Здесь одна из первообразных, которую мы обозначили, выделяется из всего набора первообразных условием. Функцияназывается функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике. Возможность вычисления предусмотрена также на многих моделях калькуляторов (не самых дешёвых) и уж, обязательно, на тех, что предназначены для статистической обработки числового материала. Так что, с практической точки зрения, пользоваться функцией Лапласа ничуть не сложнее, чем, скажем, синусом, арктангенсом или натуральным логарифмом, которые мы условно относим к элементарным функциям.

        Пример 1.9Не берётся также интеграл

Доопределим подынтегральную функцию , полагая её равной 1 при. В соответствии с тем, что, доопределённая функция будет непрерывна на всей числовой оси. Среди её первообразныхF(x) выделим ту, для которой. Эта неэлементарная функция называется интегральным синусом и обозначается. Именно её мы использовали в приведённой выше формуле.

        Пример 1.10Ещё один неберущийся интеграл:

Одна из первообразных -- та, что мы использовали в правой части и обозначили -- называется интегральным косинусом.

        Пример 1.11--

это тоже неберущийся интеграл. Одна из первообразных, которую мы обозначили , -- специальная функция, называющаяся интегральной экспонентой.

        Пример 1.12Не берётся интеграл(приодна из первообразных,, называется интегральным логарифмом.

30. Определенный интеграл. Понятия и определения.

Вычисление площади криволинейной трапеции.Пусть на отрезкезадана непрерывная функция, принимающая на этом отрезке неотрицательные значения :при. Требуется определить площадьтрапеции, ограниченной снизу отрезком, слева и справа - прямымии, сверху - функцией.

Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание фигуры точкаминачастейсимволомбудем обозначать длину-го отрезка:. На каждом из отрезковвыберем произвольную точку, найдём, вычислим произведение(это произведение равно площади прямоугольникас основаниеми высотой) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим:.

равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками,; на левом рисунке эта площадь заштрихована.не равна искомой площади, она только даёт некоторое приближение к. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количествоотрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезковстремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при(слева) и при(справа)). Приразница междуибудет тоже стремиться к нулю, т.е..

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезкезадана функция. Разобьём отрезокпроизвольным образом наnчастей точками; длину-го отрезка обозначим:; максимальную из длин отрезков обозначим. На каждом из отрезковвыберем произвольную точкуи составим сумму.

Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных суммпри, не зависящий ни от способа разбиения отрезкана части, ни от выбора точек, то функцияназывается интегрируемой по отрезку, а этот предел называется определённым интегралом от функциипо отрезкуи обозначается.

Функция , как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числаaиb- соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так:.

В этом определении предполагается, что b>a. Для других случаев примем, тоже по определению: Еслиb=a, то; еслиb<a, то.

Теорема существования определённого интеграла. Если функциянепрерывна на отрезке, то она интегрируема по этому отрезку.

Примем это утверждение без доказательства, поясним только его смысл. Интегрируемость функции означает существование конечного предела последовательности интегральных сумм, т.е. такого числа , что для любогонайдётся такое число, что как только разбиение отрезка удовлетворяет неравенству, то, независимо от выбора точек,. Требование непрерывностидостаточно для интегрируемости, но не является необходимым. Интегрируемы функции, имеющие конечное или даже счётное число точек разрыва напри условии их ограниченности. Неограниченная функция не может быть интегрируемой (идея доказательства этого утверждения: еслинеограничена на, то она неограничена на каком-либо, т.е. на этом отрезке можно найти такую точку, что слагаемое, а следовательно, и вся интегральная сумма, будет больше любого наперед заданного числа).