5. Производная сложной функции.

Теорема. Пусть функция имеет в точкеxпроизводную , функция имеет в точкеuпроизводную . Тогда сложная функция имеет в точкеxпроизводную, равную произведению производных функций и : .Пример а) Найти производную функцииб) Найти производную функции

6. Неявная функция и ее дифференцирование.

Неявным заданием зависимости уотхназывается уравнение видаF(x,y) = 0, связывающее эти две переменные. Общая формула дляy'(x), следующая из неявного уравненияF(x,y) = 0, включает в себя частные производные, которые мы будем изучать позже; пока приведём несколько примеров, показывающих, как найти производнуюy'(x) из неявного уравнения. 1.. Дифференцируем это равенство пох, учитывая зависимостьуотх(применяя правило дифференцирования сложной функции: ): . Легко понять, что при этом всегда получится уравнение, линейное относительноy'(x), которое без труда решается:. Производная найдена, она совпадает с полученной в предыдущем разделе (с учётом явного выражения).

7. Дифференцирование сложной показат ф-ии. Метод логариф дифф.

логарифмическое дифференцирование. Иногда проще продифференцировать логарифм данной функции, чем саму эту функцию. Это может быть, например, если функция представляет собой произведение большого числа сомножителей, или показательно-степенное выражение. Выведем формулу для производной показательно-степенной функции:

. Логарифмируем это выражение:. Дифференцируем обе части этого равенства пох, учитывая сложную зависимость отхв логарифмах:Окончательно:. Пример:

Показательная ф-я.Сложной показательной функцией наз-ся ф-я, у кот и основание и показатель степени является ф-ми от х. Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной. Пустьu=f(x) иv=g(x) – функции, имеющие производные в точке х,f(x)>0. Найдем производную функцииy=u^v. Логарифмируя, получим:lny=vlnu, _{, ,}  Пример.Найти производную функции . По полученной выше формуле получаем: Производные этих функций: Окончательно:f’(x) =xcosx*(x²+ 3x)^xcosx-1* (2x+3) + (x²+ 3x)^xcosx(cosx–xsinx)ln(x²+ 3x).

8. Обратная функция и ее дифференцирование, тригоном.

Пусть дана возрастающая или убыв ф-я y=f(x), определенная на интервале (a,b). Пустьf(a)=c,f(b)=d. Рассмотрим возрастающую ф-ю. Для х и у есть взаимное соответствие. Рассматривая у, как значение аргумента, а х – ф-ии, получаем х как ф-ю от у.х =g(у) – обратная ф-яy=f(x).(для убыв аналогично). Если возраст или убыв ф-яy=f(x) непрерывна на [a,b], причемf(a)=c,f(b)=d, то обратная ф-я определена и непрерывна на [c,d]. Если ф-ииy=f(x) их =g(у) являются взаимно обратными, то графиком явл одна и та же прямая.

Теорема. Пусть дляf(x): 1. выполняются условияТеор.5.6.5об обратной функции(непрерывность и строгая монотонность на отрезке [a,b]). 2. в точкех₀существует неравная нулю производнаяf'(х₀). Тогда обратная функциях =g(у) в точкеу₀= f(х₀) также имеет производную, равную.

Док-во. Придадим переменнойуприращениеу0. Тогда переменнаяхполучит приращение . Вследствие строгой монотонностих0; вследствие непрерывностих0у0. . Устремиму0, тогдах0 и, по условию теоремы, существует (предел дроби), т.е..

Итак, производные взаимно обратных функций связаны соотношением .

Применим эту формулу для вывода производных обратных тригонометрических функций.

1.. Обратная функцияимеет производную. Так как, получим:.

2.Для функциисовершенно аналогично получается.