16. Точки разрыва функции. Асимптоты.

Если функция f(x) не является непрерывной в точкеx = a, то говорят, чтоf(x) имеетразрывв этой точке. На рисунке 1 схематически изображены графики четырех функций, две из которых непрерывны приx = a, а две имеют разрыв.Непрерывна приx = a.Имеет разрыв приx = a Непрерывна приx = a.Имеет разрыв приx = a. Все точки разрыва функции разделяются наточки разрыва первого и второго рода. Говорят, что функцияf(x) имеетточку разрыва первого родаприx = a, если в это точке : 1.Существуют левосторонний предели правосторонний предел; 2.Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая: 1.Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:Такая точка называетсяточкой устранимого разрыва. 2.Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называетсяточкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределовназываетсяскачком функции. Функцияf(x) имеетточку разрыва второго родаприx = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

Асимптоты графика функций

при исследовании графика функции на бесконечность, т.е. при x+ и x-, а так же вблизи точек разрыва часто оказывается, что график сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, т.е. асимптоте.Прямая х=х0 – вертикальная асимптота графика функции y=f(x), если хотя бы один из пределов илиравен . Нахождение вертикальных асимптот: 1) точки разрыва и граничные точки на области определения 2) вычисляем односторонний предел при х стремящимся к этим точкам.Прямая y=a – горизонтальная асимптота графика y=f(x), при х, если .Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой к графику y=f(x) при х, если саму функцию y=f(x) можно представить в виде f(x)=kx+b+(x), где .Схема нахождения: вычисляем , если этот предел не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонной асимптоты. Вычисляем, если его нет или он бесконечен, то асимптоты нет.

17. Комплексные числа.

Комплексным числомбудем называть упорядоченную пару действительных чисел, записанную в форме , где- новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем. Первая компонента комплексного числа, действительное число, называется действительной частью числа, это обозначается так:; вторая компонента, действительное число, называется мнимой частью числа:.Опр.. Два комплексных числаиравны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:. Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше". Геометрически комплексное числоизображается как точка с координатамина плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.Опр.. Суммой двух комплексных чиселиназывается комплексное число, определяемое соотношением, т.е.,. Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.Опр.Произведением двух комплексных чиселиназывается комплексное число, определяемое соотношением, т.е..Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частьюиполучим,, т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом, равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что. Теперь действительные числа - подмножество множества комплексных чисел. Далее, числа с нулевой действительной частью, т.е. числа вида, называютсямнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как:; квадрат этого числа, по определению умножения, равен, что обосновывает данное вопр.9.1.1свойство "мнимой единицы". Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чиселимеет свойства, аналогичным аксиомамI.1-I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):I.1. ;I.2. ;I.3. Существует такой элемент, чтодля. Этот элемент - число.I.4. Для каждого элементасуществует такой элемент, что. Этот элемент - число. Сумма чиселиназывается разностью чисели:. Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.Опр.. Числоназывается числом, сопряжённым к числу. Часто сопряжённое число обозначается также символом.Опр.Действительное числоназывается модулем комплексного числа. Найдём произведение сопряжённых чисел:. Таким образом,- всегда неотрицательное действительное число, причём. Для нахождения частного комплексных чиселдомножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю:.Для операции умножения справедливы свойстваII.1. ;II.2. ;II.3. Произведение числана любое числоравно;II.4. Для каждого числасуществует такое число, что,; Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:III.1. . Операция сопряжения имеет следующие свойства:IV..