- •Практическое занятие № 25
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Примеры решения типовых задач
- •Теоретические задания
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Практические задания
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Задания для самостоятельной работы дома
- •Практическое занятие № 28
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Практические задания
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Практические задания
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Практические задания
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Примеры решения типовых задач
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Практические задания
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Примеры решения типовых задач
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Практические задания
- •Практическое занятие № 33
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Примеры решения типовых задач
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Практические задания для развития и контроля владения компетенциями Задания, решаемые в аудитории
- •Задания для самостоятельной работы дома
- •Практическое занятие № 34
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Примеры решения типовых задач
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Практические задания для развития и контроля владения компетенциями Задания, решаемые в аудитории
- •Задания для самостоятельной работы дома
- •Практическое занятие № 35-36
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Примеры решения типовых задач
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Практические задания для развития и контроля владения компетенциями Задания, решаемые в аудитории
- •Задания для самостоятельной работы дома
- •Практическое занятие № 37
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •Практические задания для развития и контроля владения компетенциями
- •1) 2)3)4)
- •Практическое занятие № 38
- •Вопросы, выносимые на обсуждение
- •Методические рекомендации
- •Рекомендуемая литература
- •Теоретические задания для развития и контроля владения компетенциями Вопросы для подготовки к контрольной работе
- •Практические задания
- •Для развития и контроля владения компетенциями
- •Примерный вариант контрольной работы № 3
- •Тема «Интегральное исчисление функции одной переменной»
Практическое занятие № 33
Тема занятия «Плоскость и прямая в пространстве»
Цель занятия: изучение способов задания плоскости и прямой в пространстве.
Организационная форма занятия: практикум с применением интерактивной доски.
Компетенции, формируемые на занятии:
способность и готовность анализировать социально-значимые проблемы и процессы, использовать социально-значимые проблемы и процессы, использовать на практике методы гуманитарных, естественнонаучных, медико-биологических и клинических наук в различных видах профессиональной и социальной деятельности (ОК-1).
Формирование на занятии у будущих специалистов этой компетенций предполагает знание ими основных понятий аналитической геометрии, определений и свойств геометрических объектов, их уравнений, формулировок утверждений, возможные сферы их приложений; умение составлять уравнения прямой и плоскости, определять взаимное расположение перечисленных геометрических объектов, применять решение этих задач при решении задач математического анализа и задач предметной области; владение математическим аппаратом аналитической геометрии, аналитическими методами исследования геометрических объектов.
Вопросы, выносимые на обсуждение
Способы задания плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.
Способы задания прямой в пространстве. Различные уравнения прямой.
Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.
Методические рекомендации
Для подготовки к занятию дома
Прочитайте материал лекции по теме занятия и найдите ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями. При необходимости воспользуйтесь рекомендуемой литературой.
Рассмотрите способы задания плоскости и прямой в пространстве, выведите различные уравнения плоскости и прямой.
Изучите разобранные примеры решения типовых задач и законспектируйте их решение в рабочую тетрадь.
На занятии по указанию преподавателя
Дайте ответы на вопросы из теоретических заданий для развития и контроля владения компетенциями.
2. В рабочей тетради и на доске решите практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий, решаемых в аудитории.
Дома
Закрепите полученные практические умения и навыки, решая практические задания для развития и контроля владения компетенциями из заданий для самостоятельной работы дома.
Выполните ИДЗ № 8 по теме «Плоскость и прямая в пространстве» в соответствии с номером Вашего варианта и сдайте на проверку преподавателю.
3. Подготовьтесь к самостоятельной работе №11 по теме «Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка». Примерный вариант работы можете найти в программе дисциплины.
Рекомендуемая литература
[1] глава 4.
[2] глава III § 1.
[3] глава 2 § 7.
[4] часть I занятия 17- 19.
[6] глава 9 §§ 11 – 13.
[7] глава IX §§ 11 - 13.
Примеры решения типовых задач
Даны точки и. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору.
Решение. Воспользуемся уравнением , где- вектор нормали к плоскости,- точка, принадлежащая плоскости. Находим координаты вектора нормали к искомой плоскости: . Подставляем в записанное уравнение:
.
Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и получаем общее уравнение плоскости:
.
Напишите уравнение плоскости, параллельной оси и проходящей через точкии.
Решение. Так как плоскость параллельна оси , то общее уравнение плоскостипринимает вид.
Далее, плоскость проходит через точку , следовательно её координаты удовлетворяют искомому уравнению. Получаем уравнение
.
Аналогично, плоскость проходит через точку , следовательно
.
Решаем систему . Умножаем первое уравнение наи прибавляем ко второму, в результате система свелась к ступенчатому виду:.
Пусть , тогда,. Следовательно, получили искомое уравнение плоскости:
или .
Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки ии перпендикулярной плоскости.
Решение. Воспользуемся общим уравнением плоскости:
.
Так как плоскости иперпендикулярны, то перпендикулярны их векторы нормали, следовательно, скалярное произведение векторов нормали равно нулю:
.
Ещё два уравнения получаем, учитывая, что плоскость проходит через точки и:
,
.
Объединяем полученные уравнения в систему:
.
Придавая одной из переменных произвольное значение, например, пусть , находим остальные неизвестные(проверьте самостоятельно). Таким образом, получили уравнение искомой плоскости:
.
Приведите к каноническому виду уравнение следующей прямой
Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид
,
где - точка на прямой,- направляющий вектор прямой. Данная плоскость задана как линия пересечения двух плоскостей, следовательно искомый вектордолжен быть перпендикулярен векторам нормали этих плоскостейи, следовательно в качествеможно взять векторное произведениеи. Таким образом,
.
Координаты точки , принадлежащей прямой, найдем как какое-нибудь частное решение системы линейных уравнений
Пусть , тогда,. Следовательно, - точка на данной прямой. Подставляем найденный вектори точкув канонические уравнения прямой, получаем искомые уравнения
.
Докажите перпендикулярность прямых и
Решение. Для доказательства перпендикулярности прямых достаточно доказать ортогональность их направляющих векторов. Первая прямая задана параметрическими уравнениями, её направляющий вектор . Направляющий вектор второй прямой, заданной как линии пересечения двух плоскостей, найдем как в предыдущей задаче:
.
Для доказательства перпендикулярности находим скалярное произведение векторов
.
Следовательно, заданные прямые перпендикулярны.