6.6 Математика як засіб досягнення поставлених цілей

Одним з найпоширеніших засобів вирішення багатьох інженерних задач є використання математичних методів і математичних моделей. Математика в наші дні стала не просто інструментом, але й необхідною складовою технічних наук і техніки в цілому. Використання математики в техніці значно прискорює й здешевлює проектування нових технічних об’єктів, тому що при цьому найчастіше не потрібне створення складних макетів, зразків, виконання дорогих експериментів [61].

Якось, оглядаючи обсерваторію Маунт-Вільсон, А. Ейнштейн затримався біля телескопа. Вражали розміри. Дзеркало мало в діаметрі 2,5 метри. «Для чого власне потрібний такий гігантський інструмент?» – поцікавилася дружина Ейнштейна фрау Ельза. «Його головне призначення полягає у тому, – делікатно пояснив директор, – щоб довідатися про устрій Вселеної». «Справді?…А мій чоловік звичайно робить це на звороті старого конверта». Не відаючи того, фрау Ельза озвучила глибоку правду про перевагу математичних досліджень перед фізичними [19].

В наш час інженерам усе частіше приходиться мати справу з об’єк­тами, пряме експериментування з якими неможливе в принципі, і внесок математики в дослідження таких об’єктів важко переоцінити.

Донедавна удосконалення техніки в основному здійснювалося старим як світ випробуваним методом «проб і помилок».

Інтуїтивний підхід до створення нових технічних систем у наші дні непридатний – занадто мало часу залишається для «проб» і занадто катастрофічними можуть виявитися «помилки». Відповідальні рішення повинні прийматися не інтуїтивно, а на науковій основі.

Замість того, щоб «пробувати і помилятися» на реальних об’єктах, люди прагнуть робити це на математичних моделях.

Разом з тим варто мати на увазі той факт, що всі математичні залежності, формули, співвідношення, закони отримані з урахуванням цілого ряду умов, обмежень, допущень, у межах яких вони справедливі. Іноді інженери необґрунтовано розширюють ці межі, не усвідомлюючи того, що при цьому губиться точність.

Академік О. М. Крилов, віддаючи належне математиці, відзначав, що не слід перебільшувати можливості математики, ця наука не всесильна.

«Ясно, що скільки б не було точним математичне рішення, воно не може бути точнішим за ті наближені передумови, на яких воно засноване. Про це часто забувають, роблять спочатку будь-яке грубе наближене припущення чи допущення, часто навіть не застережуючи таке, а потім додають отриманій формулі набагато більшу довіру, ніж вона на те заслуговує» [62].

У недалекому минулому навіть вважалося, що всяка наука настіль­ки може вважатися наукою, наскільки в ній представлена математика.Але такі науки, як філософія, соціологія, політологія, медицина і багато інших, які математизовані в меншій мірі, ніж точні науки, не слід відносити до наук другого сорту, тому що вони мають справу з надскладними об’єктами, які мають величезну кількість властивостей, зв’язків, проявів.Бажання описати явища, що відбуваються у таких системах, за допомо­гою строгихматематичних залежностей без грубих допущень, спрощень навряд чи можливе. Академік О. М. Колмогоров відзначає: «Якщо кожен новий крок дослідження зв’язаний із залученням до розгляду якісно нових сторін явищ, то математичний метод відступає на задній план, у цьому випадку діалектичний аналіз усієї конкретності явищ може бути лише затемнений математичною схематизацією. Якщо, навпаки, порівняно прості і стійкі основні форми досліджуваних явищ охоплюють ці явища з великою точністю і повнотою..., то ми попадаємо в сферу панування математичного методу» [62].

Ту ж думку висловлює по суті і професор О. С. Вентцель (І. Греко­ва): «Треба прямо дивитися в очі фактам і визнати, що застосування математичних методів не корисне, а шкідливе доти, доки явище не засвоєне на доматематичному, гуманітарному рівні. Шкідливо тим, що переключає увагу з головного на другорядне, створює ґрунт для реклами й окозамилювання» [63].

Зіткнувшись зі складними проблемами і задачами, інженери нерідко звертаються по допомогу до математиків, вважаючи, що вони, володіючи багатим арсеналом математичних методів і засобів, можуть дати відповідь на їхні проблеми. Математики ж, не бажаючи, а часом і не маючи можливості самостійно розібратися в механізмі явищ, щовідбуваються, жадають від інженерів чіткого формулювання задачі. Інженерам і самим найчастіше не зовсім ясні і зрозумілі ті процеси, що відбуваються у реальності, і не завжди ясна вихідна мета дослідження.

Незнання реальних механізмів чи зневага до них може перекреслити будь-які зусилля і благі наміри і призвести до серйозних помилок.

У зв’язку з цим член-кореспондент АН СРСР О. А. Ляпунов писав: «Коли молоді математики приходять на роботу в галузеві чи виробничі установи, то між керівниками цих установ і математиками нерідко виникають прикрі непорозуміння. Математики вимагають від виробничника точно сформульованої задачі з чітко вираженим колом умов і вимог: «Дайте мені рівняння – я буду його вирішувати.» Виробничник відповідає: «Рівнянь у мене немає, і вони мені не потрібні. От вам практична задача – виробничий агрегат, чи експериментальна установка, чи набір зразків продукції, отриманий у різних умовах. Дещо у них добре, а дещо не ладиться. Розберіться, у чому тут справа, і допоможіть налагодити виробничий процес у цілому. Отоді ваша математика буде потрібна» [64].

Причина інженерної помилки часто полягає у виборі математичної моделі, не адекватної досліджуваному явищу, некоректній апроксимації, змішуванні подібних, але нетотожних понять, догматичному переносі закономірностей, справедливих для обмеженого кола явищ, на інші.

Сама собою наявність математичного апарату ніяк не додає точності і вірогідності отриманому результату. За допомогою математичного апарату аналізується і досліджується не саме явище, а його математична модель, яка може бути як вдалою, так і ні.

Сліпа віра інженера в непогрішимість математичних моделей, алгоритмів і програм, написаних програмістами для засобів обчислювальної техніки, може бути джерелом багатьох інженерних помилок і оман.

Щоб вирішувати складну інженерну задачу, необхідно чітко розуміти її зміст. Математик, що вирішує інженерну задачу, повинен сам зробитися інженером, у свою чергу інженер повинен уміти будувати моделі, тобто описувати мовою математики ті чи інші процеси, по можливості просто, вміти обмежувати себе мінімально необхідною кількістюпараметрів. Відсутність такого взаєморозуміння, взаємопроникнення в «чужу сферу» призводить до багатьох непорозумінь і помилок. Кіль­ка яскравих прикладів такого нерозуміння запозичимо з книги академіка М. М. Моісеєва «Математика ставить експеримент» [61].

На початку 60-х років склалися дуже сприятливі обставини для розвитку методів вирішення різноманітних оптимізаційних задач. Це відносилося як до техніки, так і до економіки і керування. З’явилися терміни «оптимальний план», «оптимальне планування.» Почали говорити про оптимуми, про їхню відповідність загальнодержавному оптимуму і т. ін., однак ці ілюзії проіснували не дуже довго. Ніхто з економістів-оптимізаторів не зміг пояснити, що таке оптимальний план. Розмова звичайно проходила в такому ключі: «Оптимальний план? Ну, як ви розумієте – це найгарніший, ну, найоптимальніший план. Це, коли досягається загальногосподарський, а не тільки локальний оптимум!» – «А оптимум чого?» І далі починається плутане пояснення того, що оптимум завжди є. І головний аргумент – «адже не може ж бути так, щоб його не було.»

Ми так і не зрозуміли, що таке «оптимальний план», і це нерозуміння віднесли за рахунок власного неуцтва. Ми вирішили відкласти ці складні питання і зайнятися конкретними економічними задачами.

За таку задачу нами була обрана стандартна транспортна задача. З по­гляду математики задача була дуже простою. Треба було так розпорядитися нашим ресурсом, тобто автомашинами і шляхами їхнього проходження, щоб заявки на перевезення будівельних матеріалів були виконані. Але задовольнити потреби в будівельних матеріалах можна було по-різному. Очевидно (у всякому разі, так нам показалося), що при цьому кожен самоскид повинен мати мінімальний порожній пробіг, тобто маршрут повинен бути найкоротшим... Для цього експерименту була спеціально виділена одна автобаза. Щоп’ятниці нам вобчислювальний центр приносили заявки на будівельні матеріали, а в понеділок ранком 80 самоскидів роз’їжджалися по Москві, і в кожного шофера був шляховий лист, видрукуваний електронною машиною. Нашляховому листі були зазначені не тільки постачальник і споживач, але і маршрут проходження. З задачею справилися досить швидко, і, проте,пройшло три місяці, і вибухнув скандал: наша автобаза виявилася в най­глибшомупрориві. Розібратися в причинах виявилося нескладно.

Постановку задач ми погоджували і «утрясали» з автобазою, а ро­боту її оцінював Мосавтотранс. А в нього були свої оцінки і свої погляди на те, що таке добре, а що таке погано. У Мосавтотрансу було багато критеріїв і головний з них – це вал – тонно-кілометри. Але ми навчилися так планувати перевезення, що кількість перевезених тонн значно зросла. А кількість кілометрів, віднесених до однієї тонни, настільки зменшилась за рахунок оптимізації шляху, що кількість тонно-кілометрів (основний показник) скоротилася відсотків на 30. Але тонно-кілометри – це не єдиний критерій. Ще один з показників – економія бензину, мастила. Його значення теж виявилося поганим. Норми витрати пального настільки тверді, що гарні показники могли бутиотримані тільки за рахунок скорочення порожнього пробігу. Але ж ми вирішували оптимальну задачу, і шофер не міг знайти коротший шлях...

Наш тримісячний експеримент призвів до таких результатів, що автобаза категорично відмовилася від його подальшого проведення. Наш аргумент – потрібні тонни, а не тонно-кілометри – був відбитий без утруднень. На остаточному засіданні нам сказали приблизно таке:«Не треба мудрувати; треба перекласти на мову математики те, що ро­бить плановик й усе.Адже схема показників відпрацьована роками!» Такого повороту справи ми не могли прийняти принципово! Адже серед показників оцінки роботи автобази був відсутній найважливіший – ступінь виконання заявок. А без нього вся наша оптимізація летіла в трубу. Без нього оптимальне рішення було тривіальним: кожен самоскид повинен був забрати вантаж, виїхати з ним на кільцеву дорогуі кружляти нею весь робочий день. До вечора він повинний був би здати свій вантаж і повернутися на базу. Тонно-кілометри були б максимальними...

Надалі ми знайшли спосіб розв’язати усі протиріччя. Але це потребувало нетривіальних зусиль і, головне, нам довелося по-справжньому вдуматися у природу тих реальних механізмів, що діють у суспільстві. Ми зрозуміли на цій задачі, що не можна займатися економікою (а також і технікою – прим. автора) із загальних міркувань.

Варто згадати ще про один вид помилок, зв’язаних з неточністю проведення самих розрахунків.

Всесвітньо відомий американський астроном Саймон Ньюком, фахівець з дослідження руху планет і їхніх супутників, саму ідею створення літних апаратів важче за повітря відніс до великого класу задач, що людина ніколи не зможе вирішити, на тій підставі, що фізика польоту й опір повітря виключають таку можливість. Результати своїхрозрахунків він опублікував за вісім тижнів до першого польоту братів Райту 1903 р. Правильний же розрахунок був зроблений лише після демонстрації польоту, хоча теоретичні основи для нього існували раніше.

Помилковим був також розрахунок, зроблений канадським астрономом Дж. У. Кемпбеллом, що дійшов висновку: щоб доставити один фунт корисного вантажу, ракета для польоту на Місяць повинна важити один мільйон тонн (помилка в його розрахунках досягла шести порядків величини через нереалістичні вихідні посилання).

Питання для самоконтролю.

1. Чому виникають помилки при трансформуванні зовнішніх цілей у внутрішні.

2. Вкажіть характерні помилки керівників, які ставлять нові цілі виконавцям.

3. Які причини некоректного формулювання цілі замовником?

4. Проаналізуйте випадки невідповідності цілі отриманому результату. Які причини невідповідності цілі отриманому результату.

5. Чи завжди невідповідність цілі отриманому результату слід розглядати як небажане явище?

6. Кінцевий результат як сукупність позитивного та небажаного ефектів. Які можливі шляхи усунення ТП?

7. Які причини появи ІП при виборі засобів досягнення поставленої цілі?

8. Причини появи ІП при виборі математики як засобу досягнення цілі.

Критерій – основа оцінки, що дозволяє запобігти суб’єктивним судженням.

О. С. Вентцель