- •Вища математика математичний аналіз функцій однієї змінної
- •0501 „Економіка і підприємництво”,
- •0502 „Менеджмент”
- •Видання розглянуто і рекомендовано до друку на засіданні кафедри фізико-математичних дисциплін (протокол № 5 від 13 січня 2009 р.);
- •Скорочені теоретичні відомості
- •1. Границі і неперервність функції
- •Границя числової послідовності і функції в точці і на нескінченності. Односторонні границі функції в точці.
- •1.2. Основні теореми про границі
- •1.3. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •1.4. Приклади обчислення границь
- •1.5. Неперервність функції
- •Питання для самоперевірки
- •2. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •2.1. Похідна функції. Геометричний зміст похідної функції
- •2.2. Основні правила диференціювання функції. Таблиця похідних
- •Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •Основні правила диференціювання
- •Похідна складної функції
- •Зведена таблиця формул диференціювання
- •Похідна оберненої функції
- •Диференціювання функцій, заданих параметрично
- •Диференціювання неявної функції
- •Логарифмічне диференціювання
- •Похідні вищих порядків
- •2.3. Диференціал функції
- •2.4. Застосування диференціального числення функції однієї змінної
- •2.4.1. Застосування похідної при обчисленні границь.
- •Правило Лопіталя
- •2.4.2. Зростання і спадання функції на інтервалі
- •2.4.3. Екстремуми функції
- •2.4.4. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
- •Значень функції на відрізку:
- •2.4.5. Опуклість графіка функції. Точки перегину
- •Проміжки опуклості, вгнутості й точки перегину:
- •2.4.6. Асимптоти графіка функції
- •2.4.7. Повне дослідження функції і побудова її графіка
- •2.5. Питання для самоперевірки
- •3. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •3.1. Невизначений інтеграл
- •3.1.1 Властивості невизначеного інтеграла.
- •3.1.2. Таблиця невизначених інтегралів
- •3.1.3. Основні методи інтегрування
- •Метод безпосереднього інтегрування
- •Метод заміни змінної
- •Метод інтегрування частинами
- •3.1.4. Інтегрування дрібно-раціональних функцій
- •Інтегрування найпростіших дробів
- •3.1.5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •, , .
- •3.1.6. Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій
- •3.1.7. Інтегрування диференціального бінома
- •3.1.8. Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
- •3.1.9. Питання для самоперевірки
- •3.2. Визначений інтеграл
- •3.2.1. Інтегральна сума і визначений інтеграл
- •3.2.2. Властивості визначеного інтегралу
- •3.2.3. Обчислення визначеного інтеграла
- •Метод заміни змінної в визначеному інтегралі
- •Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •3.2.4. Невласні інтеграли
- •3.2.5. Геометричні застосування визначеного інтеграла
- •Обчислення площ плоских фігур у декартових координатах
- •Обчислення об'єму тіла обертання
- •Обчислення довжини дуги кривої
- •3.2.6. Питання для самоперевірки
- •Література
- •Индивидуальні завдання до розрахунково-графічної роботи
- •4) ; 5).
- •Таблиці вибору варіантів завдань для ргр № 2
- •211 Група
- •212 Група
- •213 Група
- •214 Група
- •215 Група
- •311 Група
- •312 Група
- •313 Група
- •314 Група
- •315 Група
- •316 Група
- •1111 Група
- •1112 Група
- •1211 Група
- •1212 Група
- •1311 Група
- •1312 Група
- •1313 Група
- •1511 Група
- •1512 Група
3.1.2. Таблиця невизначених інтегралів
Оскільки інтегрування є дія обернена диференціюванню, то можна одержати таблицю основних інтегралів, застосовуючи таблицю похідних і властивості невизначеного інтеграла.
1. . 11..
2. . 12..
3. . 13..
4. . 14..
5. . 15.,.
6. . 16.,.
7. . 17.,.
8. . 18.,.
9. . 19..
10. . 20..
Якщо і– довільна функція, що має неперервну похідну, то
.
Ця властивість (її називають інваріантністю формул інтегрування) означає, що та або інша формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від того, змінна інтегрування – є незалежною змінною або довільною функцією від неї.
3.1.3. Основні методи інтегрування
Не існує універсального методу знаходження невизначених інтегралів. До основних методів інтегрування відносять наступні методи: безпосереднє інтегрування, метод заміни змінної (метод підстановки) і метод інтегрування частинами.
Метод безпосереднього інтегрування
Метод безпосереднього інтегрування застосовується, коли невизначений інтеграл можна знайти безпосередньо за допомогою таблиці інтегралів та властивостей невизначених інтегралів. У деяких випадках підінтегральну функцію необхідно перетворити, щоб звести поданий інтеграл до табличного інтегралу.
Зауваження: При знаходженні алгебраїчної суми інтегралів звичайно пишуть одну довільну сталу наприкінці.
Приклад 23.
Знайти інтеграли: а); б) ;
в) ; г).
Розв’язок.
а)
.
б)
в)
=.
г)
.
Метод заміни змінної
Метод заміни змінної (метод підстановки) полягає у введенні нової змінної інтегрування (тобто підстановки) . При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтегралу, який повинен бути табличним або таким, що зводиться до табличного інтегралу.
Метод заміни змінної описується наступною формулою:
.
Зауваження: не існує загального правила вибору підстановок. Вміння правильно підібрати підстановку визначається досвідом або виглядом підінтегральної функції.
Часто формулу заміни змінної застосовують також і у зворотному порядку: застосовують підстановку , тобто частина підінтегральної функції позначається через нову змінну. Потім із заміни виражають змінну, знаходять диференціалі підставляють усе у початковий підінтегральний вираз. Після знаходження інтеграла від нової змінноїповертаються до старої змінної. Для цього підходу справедлива формула:
.
Зауваження: якщо підінтегральний вираз містить деяку функцію та її диференціал з точністю до коефіцієнта, то виражати змінну із підстановкинеобов'язково.
Приклад 24.
Знайти інтеграли: а) ; б); в).
Розв’язок.
а)
.
б)
.
в) .
Зауваження: розглянемо випадок, коли існує можливість заміни лінійного виразу , яка приводить до табличного інтеграла (див. Приклад 24а); так називану лінійну підстановку.
Якщо відома первісна для деякої функції:
,
то ,
тобто .
Використовуючи дане зауваження, можна розширити можливість застосування табличних інтегралів, наприклад:
;
;
;
.
Приклад 25.
Знайти інтеграли, використовуючи зауваження про лінійну підстановку:
а) ; б); в); г).
Розв’язок.
а) ;
б) ;
в) ;
г)