- •Вища математика математичний аналіз функцій однієї змінної
- •0501 „Економіка і підприємництво”,
- •0502 „Менеджмент”
- •Видання розглянуто і рекомендовано до друку на засіданні кафедри фізико-математичних дисциплін (протокол № 5 від 13 січня 2009 р.);
- •Скорочені теоретичні відомості
- •1. Границі і неперервність функції
- •Границя числової послідовності і функції в точці і на нескінченності. Односторонні границі функції в точці.
- •1.2. Основні теореми про границі
- •1.3. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •1.4. Приклади обчислення границь
- •1.5. Неперервність функції
- •Питання для самоперевірки
- •2. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •2.1. Похідна функції. Геометричний зміст похідної функції
- •2.2. Основні правила диференціювання функції. Таблиця похідних
- •Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •Основні правила диференціювання
- •Похідна складної функції
- •Зведена таблиця формул диференціювання
- •Похідна оберненої функції
- •Диференціювання функцій, заданих параметрично
- •Диференціювання неявної функції
- •Логарифмічне диференціювання
- •Похідні вищих порядків
- •2.3. Диференціал функції
- •2.4. Застосування диференціального числення функції однієї змінної
- •2.4.1. Застосування похідної при обчисленні границь.
- •Правило Лопіталя
- •2.4.2. Зростання і спадання функції на інтервалі
- •2.4.3. Екстремуми функції
- •2.4.4. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
- •Значень функції на відрізку:
- •2.4.5. Опуклість графіка функції. Точки перегину
- •Проміжки опуклості, вгнутості й точки перегину:
- •2.4.6. Асимптоти графіка функції
- •2.4.7. Повне дослідження функції і побудова її графіка
- •2.5. Питання для самоперевірки
- •3. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •3.1. Невизначений інтеграл
- •3.1.1 Властивості невизначеного інтеграла.
- •3.1.2. Таблиця невизначених інтегралів
- •3.1.3. Основні методи інтегрування
- •Метод безпосереднього інтегрування
- •Метод заміни змінної
- •Метод інтегрування частинами
- •3.1.4. Інтегрування дрібно-раціональних функцій
- •Інтегрування найпростіших дробів
- •3.1.5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •, , .
- •3.1.6. Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій
- •3.1.7. Інтегрування диференціального бінома
- •3.1.8. Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
- •3.1.9. Питання для самоперевірки
- •3.2. Визначений інтеграл
- •3.2.1. Інтегральна сума і визначений інтеграл
- •3.2.2. Властивості визначеного інтегралу
- •3.2.3. Обчислення визначеного інтеграла
- •Метод заміни змінної в визначеному інтегралі
- •Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •3.2.4. Невласні інтеграли
- •3.2.5. Геометричні застосування визначеного інтеграла
- •Обчислення площ плоских фігур у декартових координатах
- •Обчислення об'єму тіла обертання
- •Обчислення довжини дуги кривої
- •3.2.6. Питання для самоперевірки
- •Література
- •Индивидуальні завдання до розрахунково-графічної роботи
- •4) ; 5).
- •Таблиці вибору варіантів завдань для ргр № 2
- •211 Група
- •212 Група
- •213 Група
- •214 Група
- •215 Група
- •311 Група
- •312 Група
- •313 Група
- •314 Група
- •315 Група
- •316 Група
- •1111 Група
- •1112 Група
- •1211 Група
- •1212 Група
- •1311 Група
- •1312 Група
- •1313 Група
- •1511 Група
- •1512 Група
2.2. Основні правила диференціювання функції. Таблиця похідних
Знаходження похідної називається диференціюванням функції. При знаходженні похідних користуються правилами диференціювання, а також таблицею похідних.
Таблиця похідних основних елементарних функцій
1. , (); 5.;
2. ; 6.;
2. , (); 7.;
2. ; 8.;
3. ; 9., ();
3. ; 10., ();
4. ; 11.;
4. ; 12..
Основні правила диференціювання
Нехай і– диференційовні функції, – стала. Тоді:
(похідна сталої величини дорівнює нулю);
2) (постійний множник можна виносити за знак похідної);
(похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних);
(похідна добутку двох функцій дорівнює добутку похідної першої функції на другу плюс добуток похідної другої функції на першу);
5) (похідна частки двох функцій дорівнює дробу, в чисельнику якого – добуток похідної чисельника на знаменник мінус добуток похідної знаменника на чисельник, а в знаменнику – квадрат знаменника).
Похідна складної функції
Нехай і . Тоді є складною функцією із проміжним аргументом і основним аргументом .
Наприклад та, тоді – складна функція.
Похідна складної функції визначається за формулою:
.
Функція диференціюється по , а диференціюється по .
Ця формула поширюється на будь-який ланцюжок з будь-якою скінченною кількістю диференційовних функцій.
Зауваження: На практиці при диференціюванні складної функції корисно виділяти «зовнішню» функцію і «внутрішню» функцію . Диференціювання починається завжди із зовнішньої функції, а внутрішня функція, як би складно вона не виглядала, вважається простим аргументом. Похідна внутрішньої функції знаходиться за звичайними правилами.
Таким чином, з огляду на правило знаходження похідної складної функції, таблицю основних елементарних функцій можна записати в розширеному вигляді.
Зведена таблиця формул диференціювання
1. , (); 5.;
2. ; 6.;
2. ; 7.
2. ; 8.
3. ; 9.;
3. ; 10.;
4. ; 11.;
4. ; 12..
Приклад 10.
Знайти похідні складних функцій:
а) ; б) ;в) ;
г) ;д) ;е) ;
є) ;ж) ; з) .
Розв’язок.
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
д)
.
е)
є)
.
ж)
з)
Для спрощення диференціювання, перетворимо функцію:
.
Одержимо:
.
Похідна оберненої функції
Нехай функції і – взаємо-обернені. Тоді, якщо ,, то:
, .
Приклад 11.
Знайти похідну функції .
Розв’язок.
,
тоді .
Диференціювання функцій, заданих параметрично
Якщо функція від незалежної змінноїзадана за допомогою допоміжної змінної (параметра):, то говорять, що функція задана параметрично і похідна визначається за формулою:
.
Приклад 12.
Знайти похідну , функції .
Розв’язок.
Знаходимо похідні івід змінної:
;
;
Тоді: .
Диференціювання неявної функції
Якщо залежність між і задана в неявному вигляді рівнянням, то похідна визначається в такий спосіб:
диференціюються обидві частини рівняння, розглядаючи при цьому , як функцію аргументу;
отримане рівняння розв’язується відносно .
У результаті отримують вираз для похідної від неявної функції у вигляді:
.
Приклад 13.
Обчислити похідну функції .
Розв’язок.
Диференціюємо обидві частини рівняння й виражаємо :
; ;
; ;
; ;
; .
Щоб позбутися від багатоповерхового дробу у відповіді, помножимо чисельник і знаменник дробу, який отримали, на вираз .
.