- •Вища математика математичний аналіз функцій однієї змінної
- •0501 „Економіка і підприємництво”,
- •0502 „Менеджмент”
- •Видання розглянуто і рекомендовано до друку на засіданні кафедри фізико-математичних дисциплін (протокол № 5 від 13 січня 2009 р.);
- •Скорочені теоретичні відомості
- •1. Границі і неперервність функції
- •Границя числової послідовності і функції в точці і на нескінченності. Односторонні границі функції в точці.
- •1.2. Основні теореми про границі
- •1.3. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
- •1.4. Приклади обчислення границь
- •1.5. Неперервність функції
- •Питання для самоперевірки
- •2. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •2.1. Похідна функції. Геометричний зміст похідної функції
- •2.2. Основні правила диференціювання функції. Таблиця похідних
- •Таблиця похідних основних елементарних функцій
- •Основні правила диференціювання
- •Похідна складної функції
- •Зведена таблиця формул диференціювання
- •Похідна оберненої функції
- •Диференціювання функцій, заданих параметрично
- •Диференціювання неявної функції
- •Логарифмічне диференціювання
- •Похідні вищих порядків
- •2.3. Диференціал функції
- •2.4. Застосування диференціального числення функції однієї змінної
- •2.4.1. Застосування похідної при обчисленні границь.
- •Правило Лопіталя
- •2.4.2. Зростання і спадання функції на інтервалі
- •2.4.3. Екстремуми функції
- •2.4.4. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
- •Значень функції на відрізку:
- •2.4.5. Опуклість графіка функції. Точки перегину
- •Проміжки опуклості, вгнутості й точки перегину:
- •2.4.6. Асимптоти графіка функції
- •2.4.7. Повне дослідження функції і побудова її графіка
- •2.5. Питання для самоперевірки
- •3. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •3.1. Невизначений інтеграл
- •3.1.1 Властивості невизначеного інтеграла.
- •3.1.2. Таблиця невизначених інтегралів
- •3.1.3. Основні методи інтегрування
- •Метод безпосереднього інтегрування
- •Метод заміни змінної
- •Метод інтегрування частинами
- •3.1.4. Інтегрування дрібно-раціональних функцій
- •Інтегрування найпростіших дробів
- •3.1.5. Інтегрування тригонометричних функцій
- •, , .
- •3.1.6. Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій
- •3.1.7. Інтегрування диференціального бінома
- •3.1.8. Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції
- •3.1.9. Питання для самоперевірки
- •3.2. Визначений інтеграл
- •3.2.1. Інтегральна сума і визначений інтеграл
- •3.2.2. Властивості визначеного інтегралу
- •3.2.3. Обчислення визначеного інтеграла
- •Метод заміни змінної в визначеному інтегралі
- •Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •3.2.4. Невласні інтеграли
- •3.2.5. Геометричні застосування визначеного інтеграла
- •Обчислення площ плоских фігур у декартових координатах
- •Обчислення об'єму тіла обертання
- •Обчислення довжини дуги кривої
- •3.2.6. Питання для самоперевірки
- •Література
- •Индивидуальні завдання до розрахунково-графічної роботи
- •4) ; 5).
- •Таблиці вибору варіантів завдань для ргр № 2
- •211 Група
- •212 Група
- •213 Група
- •214 Група
- •215 Група
- •311 Група
- •312 Група
- •313 Група
- •314 Група
- •315 Група
- •316 Група
- •1111 Група
- •1112 Група
- •1211 Група
- •1212 Група
- •1311 Група
- •1312 Група
- •1313 Група
- •1511 Група
- •1512 Група
3.1.5. Інтегрування тригонометричних функцій
Розглянемо основні види інтегралів, підінтегральна функція в яких містить тригонометричні функції.
I. Інтеграли виду , деі– цілі числа.
Виділимо тут три випадки, що мають важливе значення.
1) Якщо обидва показники степеня і– парні невід’ємні числа, то необхідно перетворити підінтегральну функцію за допомогою формул зниження степеня:
2) Якщо хоча б один з показників степеня або(або ій) непарне число, то інтеграл функції знаходять шляхом відділення від неї одного множника і застосування формули:
,
і наступної підстановки:
– якщо – непарне додатне число, то;
– якщо – непарне додатне число, то.
3) Якщо обидва показники степеня і– парні і хоча б один з них від’ємний, то застосовують заміну змінної або . При цьому можуть застосовуватися формули:
.
Приклад 29.
Знайти інтеграли:
а) ; б); в); г).
Розв’язок.
а)
У цьому випадку показники: – парні додатні числа. Застосуємо формулу зниження степеня:
б)
У цьому випадку показники: ,– непарне число. Відокремимо від непарного степеня один множник першого степеня, скористаємося тотожністюі зробимо підстановку
в)
У цьому випадку показники: – непарне число, а. Відокремимо від непарного степеня один множник першого степеня, скористаємося тотожністю і зробимо підстановку
.
г) .
У цьому випадку показники: – парні, але– від’ємне число. Перетворимо підінтегральну функцію, скористаємося тотожністюі застосуємо підстановку .
II. Інтеграли виду деR – раціональна функція від тригонометричних функцій, знаходять за допомогою універсальної тригонометричної підстановки: . Тоді:
Приклад 30.
Знайти інтеграл
Розв’язок.
Застосовуємо універсальну тригонометричну підстановку . Тоді даний інтеграл приймає вигляд:
.
У деяких випадках знаходження інтегралів видуможе бути спрощено:
– Якщо – непарна функція відносно, тобто якщото застосовується підстановка
– Якщо – непарна функція відносно, тобто якщото застосовується підстановка
– Якщо – парна функція відносноі, тобто якщо, то застосовується підстановка.
Приклад 31.
Знайти інтеграли а) ; б).
Розв’язок.
а) Підінтегральна функція непарна відносно Застосовуємо підстановку
б)
Підінтегральна функція парна відносно і. Застосовуємо підстановкуй формулу.
.
III. Інтеграли виду , ,, деі– деякі числа (коефіцієнти).
Подібні інтеграли перетворюються в табличні за допомогою перетворення добутку тригонометричних функцій у суму за формулами:
, , .
Приклад 32.
Знайти інтеграл .
Розв’язок.
.
3.1.6. Інтегрування деяких видів ірраціональних функцій
У деяких випадках інтеграли від ірраціональних функцій за допомогою відповідної підстановки зводяться до інтегралів від раціональних функцій.
І. Інтеграли виду:, де– раціональна функція.
Такі інтеграли обчислюють за допомогою підстановки , де– загальний знаменник дробів(– найменше загальне кратне чиселі).
Приклад 33.
Знайти інтеграл .
Розв’язок.
.
Ми одержали інтеграл від неправильного раціонального дробу. Розділимо чисельник на знаменник.
Тоді інтеграл прийме вигляд:
.
ІІ. Інтеграли виду обчислюють за допомогою підстановки, де – найменше загальне кратне чисел .
Приклад 34.
Знайти інтеграл .
Розв’язок.
.
ІІІ. Інтеграли виду ,,обчислюють виділенням повного квадрата під знаком радикала і заміною змінної. У якості нової змінної приймається вираз, що перебуває в дужках в квадраті, який отримали після виділення повного квадрата.
Приклад 35.
Знайти інтеграл .
Розв’язок.
Виділимо повний квадрат у виразі під знаком радикала:
.
Після виділення повного квадрата видно, що в якості нової змінної інтегрування варто вибрати вираз . Одержуємо:
.
ІV. Інтеграли виду ,,приводяться до інтегралів від функцій, що раціонально залежать від тригонометричних функцій, за допомогою наступних тригонометричних підстановок:
для інтегралу :, тоді
;
для інтегралу :, тоді
для інтегралу :, тоді
Приклад 36.
Знайти інтеграли: а); б).
Розв’язок.
а)
.
Повертаємось до старої змінної і одержимо відповідь у найбільш простому вигляді. Оскільки , то
; ;
.
Отже, остаточна відповідь має вигляд:
.
б)
.
Повертаємось до старої змінної і одержимо відповідь у найбільш простому вигляді. Оскільки , то
.
Отже, остаточна відповідь має вигляд:
.