3.1.7. Інтегрування диференціального бінома

Інтеграли виду

,

де – дійсні числа,– раціональні числа (дроби) називаютьсяінтегралами від диференціального бінома або інтегралами Чебишева.

Інтеграл від диференціального бінома обчислюють приведенням до інтеграла від раціональної функції наступними підстановками:

1. Якщо – ціле число, то застосовують підстановку, де– найменше загальне кратне знаменників дробіві;

2. Якщо – ціле число, то застосовують підстановку, де– знаменник дробу;

3. Якщо – ціле число, то застосовують підстановку, де– знаменник дробу;

У всіх інших випадках інтеграли виду не виражаються через елементарні функції, тобто «не беруться».

Приклад 37.

Знайти інтеграл .

Розв’язок.

Перепишемо інтеграл .

У цьому випадку показники .

Оскільки – ціле число, то ми маємо справу із другим випадком і застосуємо підстановку, де– знаменник дробу, тобто.

Одержуємо:

.

3.1.8. Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції

Вивчені методи інтегрування дозволяють у багатьох випадках обчислити невизначений інтеграл від основних класів елементарних функцій, тобто для підінтегральної елементарної функції знайти первісну функцію, що є також елементарною функцією. Однак є ряд інтегралів від елементарних функцій, які не виражаються через елементарні функції, тобто не обчислюються. До таких інтегралів відносять інтеграли виду:

, ,,,,і ін.

Зазначені інтеграли не можуть бути знайдені за допомогою розглянутих вище методів інтегрування. Для їхнього рішення використовують методи, що розглядаються в інших розділах вищої математики.

3.1.9. Питання для самоперевірки

1. Що називається первісною функцією?

2. Що називається невизначеним інтегралом?

3. Як виконується перевірка правильності знаходження невизначеного інтегралу?

4. Перелічити основні властивості невизначеного інтеграла.

5. Перелічити інтеграли, що входять у таблицю невизначених інтегралів.

6. У чому полягає метод безпосереднього інтегрування?

7. У чому полягає інтегрування методом підстановки?

8. У чому полягає метод інтегрування частинами?

9. Сформулюйте формулу інтегрування частинами.

10. Як інтегруються найпростіші дроби чотирьох типів?

11. Які прийоми використовують при інтегруванні раціональних дробів?

12. Які підстановки використовують при інтегруванні тригонометричних функцій?

13. Які підстановки використовують при інтегруванні ірраціональних функцій?

14. Які підстановки використовують при інтегруванні диференціального бінома.

15. Які інтеграли не виражаються через елементарні функції?

3.2. Визначений інтеграл

3.2.1. Інтегральна сума і визначений інтеграл

Нехай функція визначена і обмежена на відрізку осі .

Розіб’ємо цей відрізок на частин, не обов'язково рівних, точками. Одержимо елементарні відрізки, де. На кожному відрізкувізьмемо довільну точкуі обчислимо значення функціїв кожній обраній точці.

Складемо суму

,

яка називається інтегральною сумою функції на відрізку .

Для даної функції на відрізку можна скласти незліченну множину інтегральних сум, оскільки побудова інтегральної суми полягає в довільному діленні заданого відрізка на елементарні відрізки і довільному виборі точок на кожному елементарному відрізку. Позначимо через – довжину найбільшого з елементарних відрізків.

Границя інтегральної суми за умови, що прагне до нуля, якщо ця границя існує і не залежить від способу розбиття відрізка на частини і від вибору в кожній частині точки , називаєтьсявизначеним інтегралом від функції в межах віддоі позначається_.

,

де – нижня межа інтегрування; – верхня межа інтегрування;

–змінна інтегрування; – підінтегральна функція;

–підінтегральний вираз.

Функція, для якої на відрізку існує визначений інтеграл, називається інтегрованою на цьому відрізку. Для інтегрованості досить, щоб на відрізку функція була неперервна або мала кінцеве число розривів першого роду.

Якщо для неперервної на відрізку підінтегральної функції може бути знайдена первісна функція, то визначений інтеграл від цієї функції обчислюється заформулою Ньютона-Лейбніца як приріст первісної на цьому відрізку:

Приклад 38.

Обчислити визначені інтеграли: а); б).

Розв’язок.

а) ;

б) .