1.5. Неперервність функції

Функція називається неперервною в точці , якщо виконані наступні три умови:

1) функція визначена в точці і у її околі,

2) існує скінченна границя ,

3) ця границя дорівнює значенню функції в точці , тобто .

Функція називається неперервною на інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Точка , у якій не виконана хоча б одна із трьох умов неперервності, називаєтьсяточкою розриву функції. Так, наприклад, всі точки, що не належать області визначення функції є точками розриву.

Всі точки розриву функції розділяють на точки розриву першого і другого роду.

Точка розриву називається точкою розриву першого роду функції , якщо в цій точці існують скінченні границі функції зліва та справа (односторонні границі), тобто і , і при цьому:

1. якщо , то точканазиваєтьсяточкою усувного розриву;

2. якщо , то точканазиваєтьсяточкою скінченного розриву.

Величину називаютьстрибком функції в точці розриву першого роду.

Точка розриву називається точкою розриву другого роду функції , якщо в цій точці хоча б одна з її односторонніх границь (зліва або справа) не існує або є нескінченною.

Приклад 9.

Дослідити на неперервність функцію .

Розв’язок.

Знайдемо область визначення функції. Оскільки , то.

Область визначення функції має вигляд: .

Функція визначена при всіх значеннях , окрім . Отже, точка– точка розриву функції. Дослідимо точку розриву, для цього обчислимо односторонні границі функції в зазначеній точці.

.

.

Оскільки одна із односторонніх границь дорівнює , то в точці функція має розрив другого роду.

Графік функції показаний на рис. 3.

6. Питання для самоперевірки

1. Що називається границею числової послідовності?

2. Що називається границею функції в точці?

3. Що називається границею функції на нескінченності?

4. Що називається односторонніми границями функції в точці?

5. Перелічити основні теореми про границі.

6. Яка границя називається першою визначною? Перелічити наслідки із першої визначної границі.

7. Яка границя називається другою визначною? Перелічити наслідки із другої визначної границі.

8. Що називається нескінченно малою функцією?

9. Що називається нескінченно великою функцією?

10. Перелічити основні властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій.

11. Перелічити заміни еквівалентних нескінченно малих функцій.

12. Що називають невизначеністю?

13. Які існують види невизначеностей?

14. Які прийоми використовують для розкриття основних видів невизначеностей?

15. Яка функція називається неперервною в точці?

16. Що називають точкою розриву функції?

17. У чому відмінність точок розриву функції першого роду та точок розриву другого роду?

18. Що називають стрибком функції в точці розриву першого роду?

2. Диференціальне числення функції однієї змінної

2.1. Похідна функції. Геометричний зміст похідної функції

Нехай функція визначена на деякому інтервалі .

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто при :

або .

Похідна функції позначається символами:

, , , .

Геометричний зміст похідної полягає в тому, що значення похідної функції в точці чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка цієї функції в точці , тобто:

,

де  – кут між дотичною і додатним напрямком осі Ох (рис. 4).

Геометричний зміст похідної використовується для складання рівняння дотичної або нормалі до графіка функції в точці .

Рівняння дотичної до кривої в точці має вигляд:

.

Нормаллю до кривої в точці називається пряма, яка перпендикулярна до дотичної в даній точці і проходить через точку дотику .

Рівняння нормалі має вигляд:

.