2.4.4. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Для знаходження найбільшого і найменшого значень функції використовують властивості функції, неперервної на відрізку:

Якщо функція неперервна на відрізку , то вона обов'язково досягає на цьому відрізку найбільшого й найменшого значення. Ці значення знаходяться або в точках екстремуму, що лежать всередині відрізка, або на кінцях відрізка.

Схема знаходження найбільшого і найменшого

Значень функції на відрізку:

1. Знайти критичні точки І роду функції на відрізку .

2. Обчислити значення функції в критичних точках.

3. Обчислити значення функції на кінцях відрізка.

4. Серед всіх обчислених значень функції вибрати найбільше і найменше.

Приклад 19.

Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку.

Розв’язок.

Знайдемо похідну і критичні точки першого роду.

;

, якщо ;;.

Із знайдених двох критичних точок тільки точка належить заданому відрізку .

Обчислимо значення функції в критичній точці і на кінцях відрізка та:

;

;

.

Порівнюючи три отриманих значення функції, робимо висновок, що:

найбільше значення функції ,

найменше значення функції .

2.4.5. Опуклість графіка функції. Точки перегину

Графік функції називається опуклим на інтервалі , якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі (рис. 7а).

Графік функції називається вгнутим на інтервалі , якщо він розташований вище будь-якої своєї дотичної на цьому інтервалі (рис. 7б).

Опуклість і вгнутість графіка функції пов'язана зі знаком другої похідної функції. Знаходження проміжків опуклості і вгнутості спирається на наступну теорему.

Теорема: Якщо у всіх точках інтервалу друга похідна функції від’ємна, тобто , то графік функції на цьому інтервалі опуклий, якщо ж, то графік функції вгнутий.

Точка графіка функції, що відокремлює опуклу частину графіка від вгнутої, називається точкою перегину.

Для знаходження точок перегину графіка функції використовують необхідну і достатню умови існування точок перегину.

Необхідна умова існування точки перегину.

Якщо – абсциса точки перегину графіка функції , то друга похідна в цій точці або дорівнює нулю, або не існує, тобто або не існує.

Точки, у яких друга похідна дорівнює нулю або не існує (зокрема, точки розриву функції), називаються критичними точками другого роду.

Зауваження: Зворотне твердження не завжди є вірним, тобто якщо абоне існує, то точка з абсцисою може і не бути точкою перегину.

Достатня умова існування точки перегину.

Якщо друга похідна при переході через критичну точку другого роду змінює знак, то точка з абсцисою є точкою перегину графіка функції.

Схема дослідження функції на

Проміжки опуклості, вгнутості й точки перегину:

1. Знайти область визначення функції .

2. Знайти першу похідну .

3. Знайти другу похідну .

4. Знайти критичні точки ІІ роду.

5. Розбити критичними точками ІІ роду область визначення функції на інтервали.

6. Визначити знак другої похідної на кожному із інтервалів (методом підстановки значень аргументу або методом інтервалів).

7. Визначити проміжки опуклості (вгнутості) графіка функції.

8. Визначити, використовуючи достатню ознаку, які із критичних точок другого роду є точками перегину.

9. Обчислити значення функції в отриманих точках перегину.

10. Результати оформити у вигляді таблиці.

Приклад 20.

Знайти проміжки опуклості (вгнутості) й точки перегину графіка функції .

Розв’язок.

Функція визначена на всій числовій вісі. Область визначення функції має вигляд: .

Знаходимо першу похідну функції:

.

Знаходимо другу похідну функції:

.

Знаходимо критичні точки другого роду:

.

Дріб дорівнює нулю, якщо чисельник дорівнює нулю і знаменник не дорівнює нулю:

; .

Отже, точка – критична точка ІІ роду.

Розбиваємо всю числову вісь на інтервали і визначаємо знак другої похідної на кожному із інтервалів.

		0
	–	не існує	–
		0	

Оскільки на інтервалах друга похідна від’ємна, то на цих інтервалах графік функції опуклий.

Інтервалів вгнутості графік функції не має.

Оскільки при переході через критичну точку друга похідна не змінює свій знак, то в цій точці перегину немає.

Наближений вид графіка функції приведено на рис 6.