Метод інтегрування частинами

Метод інтегрування частинами застосовується, в основному, коли підінтегральна функція складається з добутку двох множників певного виду. Формула інтегрування частинами має вигляд:

.

Вона дає можливість звести обчислення заданого інтеграла до обчислення інтеграла, який виявляється більш простим ніж даний.

Більшу частину інтегралів, що обчислюють методом інтегрування частинами, можна розбити на три групи:

1. Інтеграли виду ,,, де– многочлен,– число, що не дорівнює нулю.

У цьому випадку через позначають многочлен, а всю іншу частину підінтегрального виразу через.

2. Інтеграли виду ,,,,, де– многочлен.

У цьому випадку через позначають, а всю іншу частину підінтегрального виразу через.

3. Інтеграли виду ,, де– числа.

У цьому випадку через позначаютьі застосовують формулу інтегрування частинами двічі, повертаючись у результаті до даного інтегралу, після чого даний інтеграл виражається з рівності.

Зауваження: У деяких випадках для знаходження поданого інтегралу формулу інтегрування частинами необхідно застосовувати кілька разів. Також метод інтегрування частинами комбінують із іншими методами.

Приклад 26.

Знайти інтеграли: а) ; б).

Розв’язок.

а)

.

б)

.

3.1.4. Інтегрування дрібно-раціональних функцій

Дробово-раціональною функцією (раціональним дробом) називається функція, що дорівнює відношенню двох многочленів: , де– многочлен степеня,– многочлен степеня .

Раціональний дріб називається правильним, якщо степінь многочлена в чисельнику менше степеня многочлена в знаменнику, тобто , у противному випадку (якщо ) раціональний дріб називається неправильним.

Будь-який неправильний раціональний дріб можна представити у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу, розділивши чисельник на знаменник за правилом ділення многочленів:

,

де – ціла частина від ділення,– правильний раціональний дріб,– остача від ділення.

Правильні раціональні дроби виду:

I. ;

II. ;

III. ;

IV. ,

де ,,,,,, – дійсні числа і (тобто квадратний тричлен у знаменникуIII і IV дробів не має коренів – дискримінант від’ємний) називаються найпростішими раціональними дробами I, II, III і IV типів.

Інтегрування найпростіших дробів

Інтеграли від найпростіших дробів чотирьох типів обчислюються в такий спосіб.

I) .

II) ,.

III) Для інтегрування найпростішого дробу III типу в знаменнику виділяють повний квадрат, роблять заміну . Інтеграл після підстановки розбивають на два інтеграли. Перший інтеграл обчислюють виділенням у чисельнику похідної знаменника, що дає табличний інтеграл, а другий інтеграл перетворюють до виду, оскільки , що також дає табличний інтеграл.

;

IV) Для інтегрування найпростішого дробу IV типу в знаменнику виділяють повний квадрат, роблять заміну . Інтеграл після підстановки розбивають на два інтеграли. Перший інтеграл обчислюють підстановкою, а другий за допомогою рекурентних співвідношень.

Приклад 27.

Знайти інтеграли від найпростіших дробів:

а) ; б); в).

Розв’язок.

а) .

б) .

в)

.

Усякий правильний раціональний дріб, знаменник якого може бути розкладений на множники, можна представити у вигляді суми найпростіших дробів. Розкладання на суму найпростіших дробів здійснюють методом невизначених коефіцієнтів. Він полягає в наступному:

– кожному множнику знаменника відповідає один дріб виду;

– кожному множнику знаменника відповідає сума дробів виду

;

– кожному квадратному множнику знаменника відповідає дріб виду;

– кожному квадратному множнику знаменника відповідає сумадробів виду

,

де – невизначені коефіцієнти.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів праву частину у вигляді суми найпростіших дробів приводять до загального знаменника і перетворюють. У результаті виходить дріб з тим же знаменником, що і у лівій частині рівності. Потім відкидають знаменники і дорівнюють чисельники. У результаті виходить тотожна рівність, у якій ліва частина – многочлен з відомими коефіцієнтами, а права частина – многочлен з невизначеними коефіцієнтами.

Існує два способи визначення невідомих коефіцієнтів: метод невизначених коефіцієнтів і метод часткових значень.

Метод невизначених коефіцієнтів.

Оскільки многочлени тотожно рівні, то рівні коефіцієнти при однакових степенях . Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степеняху многочленах лівої і правої частин, одержимо систему лінійних рівнянь. Розв’язуючи систему, визначаємо невизначені коефіцієнти.

Метод часткових значень.

Оскільки многочлени тотожно рівні, то, підставляючи замість у ліву і праву частини будь-яке число, одержимо вірну рівність, лінійну щодо невідомих коефіцієнтів. Підставляючи стільки значень, скільки є невідомих коефіцієнтів, одержимо систему лінійних рівнянь. Замістьу ліву і праву частини можна підставляти будь-які числа, однак більш зручно підставляти корені знаменників дробів.

Після знаходження значень невідомих коефіцієнтів, даний дріб записується у вигляді суми найпростіших дробів у підінтегральний вираз і здійснюється раніше розглянуте інтегрування по кожному найпростішому дробу.

Схема інтегрування раціональних дробів:

1. Якщо підінтегральний дріб неправильний, то необхідно представити його у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу (тобто розділити многочлен чисельника на многочлен знаменника з остачею). Якщо підінтегральний дріб правильний відразу переходимо до другого пункту схеми.

2. Розкласти знаменник правильного раціонального дробу на множники, якщо це можливо.

3. Розкласти правильний раціональний дріб на суму найпростіших раціональних дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

4. Проінтегрувати отриману суму многочлена і найпростіших дробів.

Приклад 28.

Знайти інтеграли від раціональних дробів:

а) ; б); в).

Розв’язок.

а) .

Оскільки підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом, то виділимо з нього цілу частину, тобто представимо його у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу. Розділимо многочлен у чисельнику на многочлен у знаменнику куточком.

Даний інтеграл прийме вигляд: .

Розкладемо правильний раціональний дріб на суму найпростіших дробів за допомогою методу невизначених коефіцієнтів:

.

Відкинемо знаменники і дорівняємо ліву і праву частини:

.

Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержуємо:

Вирішуючи систему лінійних рівнянь, одержимо значення невизначених коефіцієнтів: А = 1; В = 3.

Тоді розкладання має вигляд: .

Знайдемо даний інтеграл, враховуючи отримане розкладання:

=.

б) .

Розкладемо підінтегральну функцію (правильний раціональний дріб) на суму найпростіших дробів за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Розкладання шукаємо у вигляді:

.

Привівши до загального знаменника, одержимо:

Відкинемо знаменники і дорівняємо ліву і праву частини:

.

Дорівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , одержуємо систему:

Вирішуючи систему з п'яти лінійних рівнянь, знаходимо невизначені коефіцієнти:

.

Тоді розкладання має вигляд:

.

Знайдемо даний інтеграл, враховуючи отримане розкладання:

.

в) .

Розкладемо підінтегральну функцію (правильний раціональний дріб) на суму найпростіших дробів за допомогою методу невизначених коефіцієнтів. Розкладання шукаємо у вигляді:

.

Привівши до загального знаменника, одержимо:

.

Відкинемо знаменники і дорівняємо ліву і праву частини:

.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів застосуємо метод часткових значень. Надамо часткові значення , при яких множники обертаються в нуль, тобто підставимо ці значення в останній вираз і одержимо три рівняння:

; ;

; ;

; .

Тоді розкладання має вигляд:

.

Знайдемо даний інтеграл, враховуючи отримане розкладання:

.