1.3. Нескінченно малі і нескінченно великі функції

Функція називаєтьсянескінченно малою при , якщо

.

За визначенням границі функції рівність означає, що для заданого завгодно малого числа знайдеться таке число, що для всіх, що задовольняють нерівності, буде виконуватися нерівність.

Функція називаєтьсянескінченно великою при , якщо

.

За визначенням границі функції рівність означає, що для заданого завгодно великого числа знайдеться таке число , що для всіх, що задовольняють нерівності, буде виконуватися нерівність.

Зауваження: Аналогічно, можна говорити про нескінченно великі і нескінченно малі функції при .

Нескінченно великі і нескінченно малі функції мають наступні властивості.

Властивість 1. Сума скінченної кількості нескінченно малих функцій є функцією нескінченно малою.

Властивість 2. Добуток обмеженої функції на нескінченно малу функцію є функцією нескінченно малою.

Властивість 3. Добуток постійної на нескінченно малу функцію є функцією нескінченно малою.

Властивість 4. Добуток скінченної кількості нескінченно малих функцій є функцією нескінченно малою.

Властивість 5. Сума скінченної кількості нескінченно великих функцій є функцією нескінченно великою.

Властивість 6. Добуток обмеженої функції на нескінченно велику функцію є функцією нескінченно великою.

Властивість 7. Добуток постійної на нескінченно велику функцію є функцією нескінченно великою.

Властивість 8. Функція, обернена за величиною нескінченно великий, є функцією нескінченно малою

Властивість 9. Функція, обернена за величиною нескінченно малій, є функцією нескінченно великою.

Зауваження: властивості 8 й 9 відображають зв'язок між нескінченно великою і нескінченно малою функціями.

Якщо прийняти наступні позначення: нескінченно мала функція – символ 0, нескінченно велика функція – символ , постійна величина – символ , обмежена функція – символ, то всі викладені властивості можна записати в такий спосіб:

1. ; 4.; 7.;

2. ; 5.; 8.;

3. ; 6.; 9.

Для порівняння двох нескінченно малих функцій іпри знаходять границю їх відношення:

1. Якщо , тоназивається нескінченно малою функцією більш високого порядку в порівнянні із

2. Якщо тоназивається нескінченно малою функцією більш високого порядку в порівнянні із

3. Якщо , тойназиваються нескінченно малими функціями одного і того ж порядку.

4. Якщо , те й називаються еквівалентними (рівносильними) нескінченно малими: .

При обчисленні границь використовують наступні заміни еквівалентних нескінченно малих функцій при або:

, ,,,

, ,,,

, ,,.

Варто зауважити, що границя відношення нескінченно малих функцій дорівнює границі відношення еквівалентних їм нескінченно малих функцій.

Зауваження:заміну нескінченно малих функцій на еквівалентні їм нескінченно малі функції не можна робити у випадку різниці нескінченно малих функцій.

1.4. Приклади обчислення границь

Застосовуючи теореми про границі, а також властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій, практичне обчислення границі функції при зводиться до підстановки замість його граничного значення і обчисленню значення виразу. При цьому символ не пишеться.

Приклад 1.

Обчислити границі: а) ; б) .

Розв’язок.

а) .

На практиці теореми про границі, властивості нескінченно малих і нескінченно великих функцій враховуються подумки, рішення оформлюється в такий спосіб:

.

б) .

Якщо в результаті підстановки замість його граничного значення неможливо судити про результат, говорять, що має місце невизначеність і для обчислення границі необхідне перетворення функції – говорять, що потрібно “позбутися від невизначеності” або “розкрити невизначеність”.

До основних невизначеностей відносять наступні випадки, отримані в результаті підстановки:

, ,,,,,,.

Залежно від виду невизначеності і виду функції, границю якої знаходять, застосовують різні підходи для її розкриття.

Наприклад, якщо невизначеність отримана при обчисленні границі дробово-раціональної функції (відношення двох многочленів) при , то для розкриття невизначеності необхідно розкласти на множники чисельник і знаменник дробу і скоротити дріб на загальний множник . На етапі скорочення відбувається розкриття невизначеності.

Приклад 2.

Обчислити границю .

Розв’язок.

Оскільки при безпосередній підстановці замість граничного значення отримують невизначеністьі функція дробово-раціональна, розкладемо на множники чисельник і знаменник.

D = (–1)² – 4·1·(–6) = 1 + 24 = 25 D = 1² – 4·2·(–21) = 1 + 168 = 169

; .;.

Тоді . Тоді .

Підставимо замість многочленів їх розкладення на множники й отримаємо:

.

Якщо невизначеність отримана при обчисленні границі дробово-ірраціональної функції при , то щоб виділити загальний множник чисельника і знаменника , а потім скоротити дріб, необхідно помножити чисельник і знаменник на сполучений вираз для випадку квадратного кореня та на неповний квадрат суми або різниці для випадку кубічного кореня.

Приклад 3.

Обчислити границі: а) ; б) .

Розв’язок.

а) Оскільки при безпосередній підстановці у функцію отримують невизначеність виду , функція дробово-ірраціональна і містить корінь квадратний, то для розкриття невизначеності помножимо чисельник і знаменник на вираз, сполучений чисельнику, і скористаємося формулою .

=

=

=.

б) Оскільки при безпосередній підстановці у функцію отримують невизначеність виду , функція дробово-ірраціональна і містить корінь кубічний, то для розкриття невизначеності помножимо чисельник і знаменник на неповний квадрат суми для виразу в знаменнику і скористаємося формулою .

.

Для розкриття невизначеності одержуваної при обчисленні границі дробово-раціональної функції при, застосовують прийом винесення аргументу найбільшого степеня (чисельника або знаменника) за дужки в чисельнику і знаменнику та його наступне скорочення.

Приклад 4.

Обчислити границі: а) ; б) .

Розв’язок.

а)

.

б)

=.

Якщо під знаком границі містяться тригонометричні функції, то невизначеність розкривається за допомогою перетворень, що приводять до скорочення дробу та зведення отриманого виразу до першої визначної границі або її наслідків.

Приклад 5.

Обчислити границю .

Розв’язок.

Перший спосіб.

Помножимо чисельник і знаменник дробу на іта скористаємося першою стандартною границею і її наслідками.

=.

Другий спосіб.

Цю ж границю можна обчислити, використовуючи еквівалентності нескінченно малих тригонометричних функцій.

Невизначеність виду розкривається зведенням до другої визначної границі.

Приклад 6.

Обчислити границю .

Розв’язок.

Оскільки при безпосередній підстановці отримуємо невизначеність виду , скористаємося наслідком із другої визначної границі, попередньо перетворивши функцію.

.

Невизначеність виду може зводитися до невизначеності виду за допомогою перетворень. Далі застосовується прийом розкриття невизначеності виду.

Приклад 7.

Обчислити границю .

Розв’язок.

Підставимо замість граничне значення:

.

Для розкриття даної невизначеності перетворимо вираз у дужках – виділимо цілу частину.

.

Невизначеності ,ізводять до видуабоза допомогою перетворення функції до дробу.

Приклад 8.

Обчислити границі: а) ; б) .

Розв’язок.

а)

.

б)

.