Обчислення довжини дуги кривої

Якщо функція і її похіднанеперервні на відрізку , то довжина дуги кривої на відрізку визначається за формулою:

.

Приклад 45.

Обчислити довжину дуги кривої віддо.

Розв’язок.

Знайдемо похідну заданої функції: . Підставимо похідну у формулу для обчислення дуги кривої. Межі проміжку інтегрування дорівнюють:;.

(од.).

3.2.6. Питання для самоперевірки

1. Що називається інтегральною сумою?

2. Що називається визначеним інтегралом функції на відрізку?

3. Який геометричний зміст визначеного інтеграла?

4. Перелічити основні властивості визначеного інтеграла.

5. Запишіть формулу Ньютона-Лейбніца.

6. У чому полягає інтегрування методом підстановки визначеного інтеграла?

7. У чому полягає метод інтегрування частинами визначеного інтеграла?

8. Запишіть формулу інтегрування частинами.

9. Що називається невласними інтегралами?

10. Які бувають види невласних інтегралів?

11. Які існують геометричні застосування визначеного інтеграла?

12. Як обчислити площу плоскої фігури, обмеженої заданими лініями?

13. Як обчислити об'єм тіла обертання фігури, обмеженої лініями, навколо координатної осі?

14. Як обчислити довжину дуги плоскої кривої?

Література

Основна:

1. Вища математика: Навчальний посібник: У 2 ч./ Ф.М. Ліман, В.Ф. Власенко, С.В. Петренко та інші, За заг. ред. Ф.М. Лимана. – Суми; ВТД „Університетська книга”, 2006. – 614 с.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – 6-е изд. – М.: Наука, 1986. – 576 с.

3. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для ВУЗов – 6-е изд. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

4. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М., ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – 10-е изд. – М.: Наука, 1969. – 352 с.

6. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике: Учебн. пособие для ВУЗов – 3-е изд. – М.: Высш. шк., 2002. – 304 с.

Додаткова:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1, 2. – 7-е изд. – М.: Наука, 1966. – т.1 – 552 с., т.2 – 312 с.

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. – 7-е изд. – М.: Наука, 1971. – 736 с.

3. Шипачёв В.С. Основы высшей математики: Учебн. пособие для ВУЗов – 5-е изд. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

4. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М. Практикум по высшей математике. – Ростов н/Д: Изд-во «Феникс», 2004. – 640 с.

Индивидуальні завдання до розрахунково-графічної роботи

ЗАВДАННЯ 1. Обчислити границі.

1. а) ; б); в);

г) ; д).

2. а) ; б); в);

г) ; д).

3. а) ; б); в);

г) ; д).

4. а) ; б); в);

г) ; д).

5. а) ; б); в);

г) ; д).

6. а) ; б); в);

г) ; д).

7. а) ; б); в);

г) ; д).

8. а) ; б); в);

г) ; д).

9. а) ; б); в);

г) ; д).

10. а) ; б); в);

г) ; д).

11. а) ; б); в);

г) ; д).

12. а) ; б); в);

г) ; д).

13. а) ; б); в);

г) ; д).

14. а) ; б); в);

г); д).

15. а) ; б); в);

г) ; д).

16. а) ; б); в);

г); д).

17. а) ; б); в);

г); д).

18. а) ; б); в);

г) ; д).

19. а) ; б); в);

г) ; д).

20. а) ; б); в);

г) ; д).

21. а) ; б); в);

г) ; д).

22. а) ; б); в);

г) ; д).

23. а) ; б); в);

г); д).

24. а) ; б); в);

г); д).

25. а) ; б); в);

г); д).

26. а) ; б); в);

г); д).

27. а); б); в);

г) ; д).

28. а) ; б); в);

г) ; д).

29. а) ; б); в);

г) ; д).

30. а) ; б); в);

г) ; д).

ЗАВДАННЯ 2. Знайти похідні поданих функцій, використовуючи формули диференціювання у довільній точці.

1. а) б)у = ln arctg x²; в) ;

г) ; д); е)х² + cos xу² – 2у = 0.

2. а) б)у = 5^{ln ctg 2}; в) ;

г) ; д); е) sinx – arctg y + ху = 0.

3. а) ; б) у = ln arctg² x²; в) ;

г) ; д); е) е^х – cosху – y³ = 0.

4. а) б)у = arctg³; в)

г) д); е)х sin у – у cos x – 2 = 0.

5. а); б); в);

г); д) ; е) e^x – x² + ye^x – e ^y = 0.

6. а) б)у = ln⁴ cos; в);

г) д); е) 2x – sin 2x – х²y² = 0.

7. а) ; б) ; в);

г) ; д); е) e^xy – x² + y² = 0.

8. а) б)у = sin³ е^{tg 3x}; в) ;

г) ; д); е)y sin x + cos y = 0.

9. а) ; б); в);

г) ; д); е) cos (x – y) – 2x + 4y = 0.

10. а) ; б)у = ; в);

г) ; д); е).

11. а) ; б)у = ; в);

г); д); е)xy + ln y + cos 2x = 0.

12. а) ; б)у = ln arcsin x²; в) ;

г) ; д); е).

13. а) ; б)у = arccos; в);

г) ; д); е) (x + y)² = x – y.

14. а) ; б)у = log₅sin(x² + 2x + 2); в);

г) ; д); е)y ln x – x ln y = x + y.

15. а) ; б); в);

г) ; д); е)x³ y³ – 2 x y + 3 = 0.

16. а) ; б)у = tg³arcsin; в);

г) ; д); е)x² y² – cos (x + у²) = 0.

17. а) ; б)у = arctg³; в);

г) ; д); е) cos (x y) – 2x + 3у² = 0.

18. а) ; б); в);

г) ; д); е).

19. а) ; б); в);

г); д); е) 5x² y² – 7y + 9 = 0.

20. а) ; б)у = arctg³(x⁵ – 3x); в) ;

г) ; д); е)x³ y³ – 2 x y – 3 = 0.

21. а) ; б)у = ln tg²; в) ;

г) ; д); е)x² + x⁴ y² + у⁴ = 3.

22. а); б)у = ln(); в);

г); д); е)x² + sin y² – x y = 0.

23. а) ; б); в);

г); д); е)x³ + y³ – 3 x² y = 0.

24. а) ; б)у = sin; в);

г) д); е)x⁴ + y⁴ – x² y² = 0.

25. а) ; б)у = log₃arcsin3x; в);

г) ; д) ; е)y – x е^у – sin ху + 3 = 0.

26. а) ; б)у = ln²arcsin; в);

г)д); е)y³ + е^ху + x³ – 4 = 0.

27. а) ; б)у = ; в);

г) ; д); е)x y + 2е^у – 4 = 0.

28. а) ; б)у = ; в);

г) ; д); е)x³ y³ – sin y + 3 = 0.

29. а) ; б)у = arcsin; в);

г) ; д); е) 2sinx + cos xy ² = 0.

30. а) ; б)у = tg sin²cos4x; в);

г) ; д); е)x³ y² – cos y + 4 = 0.

ЗАВДАННЯ 3. Провести повне дослідження функцій і побудувати їхні графіки. Дослідження провести за наступною схемою.

1. Область визначення функції.

2. Неперервність функції. Вертикальні асимптоти.

3. Парність, непарність.

4. Періодичність.

5. Точки перетину графіка функції із вісями координат.

6. Проміжки монотонності і екстремуми функції.

7. Проміжки опуклості, вгнутості і точки перегину.

8. Похилі асимптоти графіка функції.

9. Побудова графіка функції.

1. а) y = ;2. а) y = ;

б) у = х; б) y = x lnx;

3. а) y = ;4. а) y =

б) y = x – lnx; б) y = ;

5. а) y = ;6. а) y = ;

б) y = exe^–x; б) y = xe^–x;

7. а) y = ;8. а) y = ;

б) y = ; б) y = ;

9. а) у = ;10. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

11. а) у = ;12. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

13. а) у = ;14. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

15. а) у = ;16. а) у = х + ;

б) у = ; б)у = ;

17. а) у = ;18. а) у = ;

б) у = ln(x² + 4x); б) y = ;

19. а) у = ;20. а) у = ;

б) у =; б)у = х²е^–х;

21. а) у = ;22. а) у = ;

б) у = х – 2lnx; б) у = ;

23. а) у = ;24. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

25. а) у = ;26. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

27. а) у = ;28. а) у = ;

б) у = х² lnx; б) у = ;

29. а) у = ;30. а) у = ;

б) у = ; б)у = .

ЗАВДАННЯ 4. Знайти невизначені інтеграли.

1. 1); 2); 3);