- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
Напомним, что чистая доходность – это доходность бескупонной облигации.
Напомним, что доходность бескупонной облигации, цена которой в текущий момент времени равнаP, номинал F которой выплачивается в момент времени t, находится из уравнения
, (27)
т.е. . (28)
При этом, величина, равная , – «чистый» коэффициент дисконтирования (который мы будем обозначать).
Заметим, что
, (29)
, (30)
Отметим также, что чистая доходность легко находится с помощью коэффициента дисконтирования:
. (31)
Замечание. В дальнейшем будем использовать коэффициенты дисконтирования, а не чистые доходности.
В случае отсутствия бескупонных облигаций на финансовом рынке,, чистые доходности понимаются как доходности синтетических бескупонных облигаций. Несложно заметить, что условие 1 является критерием существования синтетических бескупонных облигаций с "моментами погашения" , а условие 2 является критерием единственности оценок рыночных стоимостей таких облигаций. В дальнейшем будем предполагать выполнение этих условий.
Обозначим через синтетическую бескупонную облигацию с "моментом погашения"(), а через– количество облигаций видав портфеле. В соответствии с вышеизложенным, количества,, определяются из системыn уравнений
. (32)
где F– номинал облигации.
Отметим, что, в силу условия 1, системы уравнений (32) разрешимы относительно ,. Однако,, определяются, вообще говоря, неоднозначно.
Обозначим
. (33)
Тогда система уравнений (32) запишется в виде
, (34)
где через обозначен вектор платежей синтетической бескупонной облигациис "моментом погашения". (k-я компонента вектора равна номиналуF облигации, а остальные компоненты равны нулю.)
Обозначим
. (35)
Тогда уравнения (34) можно записать еще компактнее:
, (36)
где I – единичная матрица.
Обозначим через цену синтетической бескупонной облигации(). В соответствии с вышеизложенным, она определяется по формуле
. (37)
Из условия 2 следует однозначность .
Обозначив
, , (38)
формулы (37) (), можно записать в матричном виде:
, или, . (39)
Обозначим через коэффициент дисконтирования синтетической бескупонной облигации. В соответствии с вышеизложенным, коэффициентопределяется из уравнения, т.е..
Замечание. В силу условий 1 и 2, цены синтетических бескупонных облигаций, а следовательно коэффициенты дисконтированияи чистые доходности, существуют и определяются однозначно.
Обозначив через векторкоэффициентов дисконтирования, уравненияможно записать в векторном виде
, (40)
а формулы в виде
. (41)
На практике коэффициенты дисконтирования находятся с помощью системы уравнений
. (42)
С помощью введенных ранее обозначений систему (42) запишем в виде
. (43)
Замечание. Очевидно, что условие 2 эквивалентно разрешимости уравнения (43), а условие 1 – единственности решения этого уравнения.
Таким образом, при выполнении условий 1 и 2 система уравнений (42) однозначно разрешима относительно коэффициентов ,. Покажем, что (при выполнении условий 1 и 2) коэффициенты,, найденные из системы (42), совпадают с коэффициентами, определенными по формуле (41).
Пусть вектор(единственное) решение уравнения (43). Умножим равенство (43) слева на матрицу:. Поменяем порядок умножения в левой части этого равенства:. Подставим вместо выражения, стоящего в скобках в левой части равенства, правую часть равенства (36). В результате получим:. Заметим, что правая часть этого равенства (в силу формулы (39)) равна вектору. Следовательно,, и, что и требовалось доказать.
Покажем, что коэффициенты дисконтирования ,, удобно использовать для оценки рыночной стоимости облигаций. А именно, покажем, что суммадисконтированных платежей облигациисовпадает с ценойимитирующего портфеля. (Напомним, что, где
–количества облигаций вида в имитирующем портфеле, которые находятся из уравнения (26).)
Умножим первое из равенств (26) справа на вектор :. Поменяем порядок умножения в левой части:. Поскольку (в силу равенства (43)), последнее соотношение примет вид:, что и требовалось доказать.