4.3. Задача оптимального финансирования проекта

Предположим, что проект требует инвестиций ,, в концеn периодов времени.

Инвестиции ………

Время 0 1 2 n-1 n

Для финансирования проекта фирма в начальный момент времени создает инвестиционный фонд, размером денежных единиц. Инвестиционный фонд должен обеспечить выплату требуемых денежных сумм,, в моменты времени 1, 2, …,n. (Причем вкладывает деньги в инвестиционный фонд только в начальный момент времени.) При этом фирма имеет возможность вкладывать деньги из инвестиционного фонда в m видов финансовых инструментов (облигации, банковские депозиты, ссуды и др.).

Момент времени, когда деньги вкладываются в финансовые инструменты вида i, обозначим через , а момент времени, когда финансовые инструменты видаi обеспечивают доход, – через . (Причем будем считать, что.) Эффективную доходность финансовых инструментов видаi обозначим через . Уровень финансового риска, связанного с вложением денег в инструменты видаi, обозначим через . (Уровни риска,, получены с помощью экспертных оценок.)

Задача фирмы состоит в том, чтобы минимизировать начальные вложения в инвестиционный фонд. При этом в течение каждого периода времени средневзвешенный уровень риска, связанный с вложением денег из инвестиционного фонда в финансовые инструменты, не должен превышать заданной величины.

Построим математическую модель этой задачи. Количество денег, вкладываемых фирмой в финансовые инструменты вида i, обозначим через . Очевидно, что в начальный момент времени вложенияв инвестиционный фонд вкладываются в финансовые инструменты для которых. Следовательно,

. (23)

В этой сумме ограничение под знаком суммирования означает, что суммирование производится только по тем индексамi, для которых . Для каждого момента временидоход, выплачиваемый финансовыми инструментами с, должен обеспечить во-первых выплату требуемой суммы, и во-вторых, вложения в финансовые инструменты с. (Напомним, что по предположению после создания инвестиционного фонда фирма не вкладывает в него дополнительные средства.) Следовательно, должны выполняться следующее неравенства:,. Перенеся суммыиз правых частей этих неравенств в левые, получим:

,. (24)

Кроме того, поскольку в течение каждого периода времени средневзвешенный уровень риска, связанный с вложением денег из инвестиционного фонда в финансовые инструменты, не должен превышать заданной величины , должны иметь место следующие ограничения:

, . (25)

Здесь через обозначен вес вложений в финансовые инструменты видаi в k-м периоде. Причем будем считать, что определяется следующим образом:

. (26)

Приведем ограничение (25) к линейному виду. Подставив (26) в (25) после несложных алгебраических преобразований, получим:

, . (27)

Итак, математическая постановка задачи оптимального финансирования проекта – следующая: минимизировать целевую функцию (23) при ограничениях (24), (27) и условии неотрицательности переменных ,, т.е.

, (28)

, , (29)

, , (30)

, . (31)

Задача (28)-(31) – задача линейного программирования и легко решается на ПЭВМ. Для того, чтобы было удобнее вводить в ПЭВМ целевую функцию (28) и условия (29)-(30), можно следующим образом определить коэффициенты и:

для ,, (32)

для ,. (33)

С использованием коэффициентов изадача (28)-(31) перепишется следующим образом:

, (34)

, , (35)

, , (36)

, . (37)

Пример 9. Промышленная организация заключила контракт со строительной компанией о строительстве нового цеха. В условиях контракта сказано, что промышленная организация должна выплатить строительной организации 60 д.е. в конце первого квартала и 100 д.е. в конце второго квартала. Для финансирования этого проекта промышленная организация создает фонд. (Причем промышленная организация вкладывает деньги в инвестиционный фонд только в начале первого квартала.) При этом существует возможность вкладывать деньги в бескупонные облигации сроком на один квартал в начале первого квартала и в начале второго квартала. Эффективная доходность таких вложений составляет 3%, а уровень риска – 1. Также можно вкладывать деньги в бескупонные облигации в начале первого квартала сроком на пол года. Эффективная доходность таких вложений – 10%, уровень риска – 3. Требуется минимизировать начальные вложения в инвестиционный фонд. При этом средневзвешенный уровень риска в течение каждого из двух кварталов не должен превышать 2.

Решение. Примем в качестве единицы измерения времени один квартал. Тогда д.е.,д.е. Будем считать, что облигации, в которые деньги вкладываются в начале первого квартала сроком на один квартал – это финансовые инструменты первого вида; облигации, в которые деньги вкладываются в начале первого квартала сроком на пол года – это финансовые инструменты второго вида; облигации, в которые деньги вкладываются в начале второго квартала сроком на один квартал – это финансовые инструменты третьего вида. Тогда,,,,,,,,,,,,.

Поскольку в начале первого квартала деньги вкладываются в финансовые инструменты первого и второго видов, . В конце первого квартала только финансовые инструменты первого вида приносят доход. Этот доход должен обеспечить, во-первых, выплату суммыи, во-вторых, вложения в финансовые инструменты третьего вида. Следовательно, должно выполняться неравенство. В конце второго квартала финансовые инструменты второго и третьего видов приносят доход, который должен обеспечить выплату суммы. Следовательно,. Поскольку в течение первого квартала деньги вложены в финансовые инструменты первого и второго видов, для первого квартала средневзвешенный риск равен. Так как он не должен превышать заданного уровня, то выполняется неравенство:. Это ограничение легко привести к линейному виду:. Так как в течение второго квартала деньги вложены в финансовые инструменты второго и третьего видов, ограничение, связанное с риском, для второго квартала имеет вид:, или.

Таким образом, математическая модель задачи из примера 9 – следующая:

, (38)

, (39)

, (40)

, (41)

, (42)

. (43)

Подставив в (39)-(42) известные значения параметров, получим:

, (44)

, (45)

, (46)

, (47)

, (48)

. (49)

Решив эту задачу симплекс-методом, получим: д.е.,д.е.,д.е.,.