8.9. Модель оценки финансовых активов

В модели оценки финансовых активов (сокращенно CAPM от capital asset pricing model) предполагается, что все инвесторы имеют полную информацию о всех финансовых активах (т.е. знают ожидаемые доходности ,, стандартные отклоненияи ковариации) и действуют рационально (т.е. стремятся увеличить доходность портфеля и уменьшить его риск).

Тогда при наличии безрискового актива каждый инвестор будет строить портфель , обеспечивающий эффективную границу множества инвестиционных возможностей комбинаций безрискового актива и портфелей рисковых активов (см. параграф 7.6).

Такой портфель является решением задачи (60)-(62):

, (60)

, (61)

, (62)

где – тангенс угла наклона луча.

Для простоты ограничимся рассмотрением случая, когда оптимальный портфель задачи (60)-(62) единственен. Тогда (в условиях моделиCAPM) все инвесторы будут строить один и тот же портфель . (Вообще говоря, количествафинансовых активов в портфелях разных инвесторов могут отличаться, однако долидолжны совпадать.) Следовательно, доли финансовых активов в суммарном портфеле всех инвесторов равны соответствующим долямв оптимальном портфеле.

С другой стороны, поскольку суммарный портфель всех инвесторов состоит из всех финансовых активов в экономике, суммарный портфель совпадает с рыночным портфелем.

Следовательно, доли финансовых активов в оптимальном портфелеравны соответствующим долямв рыночном портфеле.

Замечание 16. В рыночном портфеле доли всех финансовых активов положительны (и меньше единицы).

Замечание 17. Поскольку рыночный портфель является (единственным) оптимальным портфелем задачи (60)-(62), коэффициент(соответствующий рыночному портфелю) больше коэффициенталюбого другого портфеля, т.е

. (84)

Основной результат модели CAPM состоит в том, что для любого финансового актива справедливо равенство:

, (85)

где коэффициент определен формулой:

. (86)

Замечание 18. Отметим, что в условиях рыночной коэффициент также может вычисляться по формуле (98) (см. формулу (68)). Однако в условиях моделиCAPM предположения рыночной модели могут не выполняться.

Замечание 19. Из формулы (86) следует, что для безрискового актива , а для рыночного портфеля.

Равенство (85) представляет собой уравнение прямой в координатной плоскости , проходящую через точкии. Эту прямую называют рыночной линией финансового актива (security market line).

1

Докажем равенство (85). Для этого построим портфель следующим образом: портфельпредставляет собой комбинацию финансового активаi–го вида и рыночного портфеля , причем в такой комбинации доля активаi–го вида равна , а доля рыночного портфеля равна.

Обозначим через иожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности портфеля. В соответствием с определением портфеляиз формул (19) и (28) следует, что

, (87)

. (88)

Очевидно, что доли и() финансовых активов в портфелеопределяются следующим образом:

, (89)

. (90)

Замечание 20. Мы предполагаем, что доли (рисковых) финансовых активов в рассматриваемых нами портфелях неотрицательны. Для неотрицательности долей и(рассчитываемых по формулам (89) и (90)) необходимо и достаточно, чтобы. Поскольку (в соответствии с Замечанием 16), значение выраженияопределено и отрицательно. Следовательно, при достаточно малых по модулю (как положительных, так и отрицательных) значенияхпортфельсостоит из неотрицательных долей финансовых активов. То, что параметрможет принимать как положительные, так и отрицательные значения будет использовано ниже при доказательстве равенства (85).

Обозначим коэффицентпортфеля, т.е

. (91)

Замечание 21. Поскольку рыночный портфель является оптимальным портфелем задачи (60)-(62), то при любых допустимых значениях(т.е.при), в соответствии с Замечанием 17,

. (92)

Заметим, что при портфельсовпадает с рыночным портфелем, и следовательно, при. Отсюда следует, что

. (93)

Докажем, что

. (94)

Доказательство равенства (94) проведем от противного.

Предположим, что . Тогда, как следует из равенства (93), при достаточно малых по модулювыражениеположительно, и, следовательно, при достаточно малых положительных, что противоречит оптимальности рыночного портфеля (см. Замечание 21).

Замечание 22. Если бы , то рыночный портфель можно было бы улучшить, увеличив в нем долю активаi-го вида.

Предположим, что . Тогда, как следует из равенства (93), при достаточно малых по модулювыражениеотрицательно, и, следовательно, при достаточно малых отрицательных, что противоречит оптимальности рыночного портфеля (см. Замечание 21).

Замечание 23. Если бы , то рыночный портфель можно было бы улучшить, уменьшив в нем долю активаi-го вида.

Поскольку, как мы доказали, производная не может быть ни положительной, ни отрицательной, то она равна нулю.

Найдем производную . С помощью формулы (91) имеем:

. (95)

При формула (95) примет вид:

. (96)

Из формул (87) и (88) следует, что

, (97)

. (98)

При формула (98) примет вид:

. (99)

Подставив (97), (99) в (96), получим

. (100)

Из формулы (86) следует, что

. (101)

Подставив эту формулу в равенство (100), получим

. (102)

Из равенства производной нулю (см. соотношение (94)) и из формулы (102) очевидным образом следует равенство (85) (основной результат моделиCAPM):

, (85)

Замечание 24. Если бы , то (в силу формулы (102)) производнаябыла бы положительной, и, следовательно (см. замечание 22), рыночный портфель можно было бы улучшить, увеличив долю активаi-го вида в портфеле.

Если бы , то (в силу формулы (102)) производнаябыла бы отрицательной, и, следовательно (см. замечание 23), рыночный портфель можно было бы улучшить, уменьшив долю активаi-го вида в портфеле.