9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов

Если инвестор намеревается купить (или продать) актив в момент времени ( в будущем), то самый простой способ защиты от повышения (понижения) цены состоит в заключении фьючерсного контракта на покупку (продажу) этого актива со сроком исполнения.

Может оказаться, что:

• Не существует фьючерсных контрактов на требуемый актив;

• Фьючерсные контракты на базовый актив существуют, однако их срок исполнения отличается от .

В этих случаях можно уменьшить риск, заключив фьючерсные контракты с базовым активом, отличным от требуемого, и/или со сроком исполнения, отличным от .

Введем следующие обозначения.

–момент исполнения фьючерсного контракта ;– цена требуемого актива в момент времени;– количество единиц требуемого актива, приобретаемых (продаваемых) в момент(если– положительно, то актив покупается, если– отрицательно, то актив продается),– количество открываемых позиций (если– положительно, то длинных позиций, если– отрицательно, то коротких позиций).

Денежный поток инвестора в моментравен:

. (29)

В качестве меры риска мы будем использовать стандартное отклонение (дисперсию) денежного потока .

Введем так называемый коэффициент хеджирования по формуле

. (30)

С помощью коэффициента хеджирования формулу (29) можно записать в следующем виде:

. (31)

Найдем дисперсию денежного потока:

Итак,

. (32)

Заметим, что – выпуклая функция от. Следовательно, условие первого порядка – необходимое и достаточное условие минимума.

Найдем :

(33)

Приравняв (33) к нулю, найдем оптимальный коэффициент хеджирования:

. (34)

Обозначим через коэффициент корреляции междуи, через– стандартное отклонение, через– стандартное отклонение. Подставивив формулу (34), получим:

. (35)

Рассмотрим случай с форвардными контрактами видов.

. (36)

Итак,

. (37)

Продифференцируем (37) по

(38)

, (39)

Из (39) следует, что – выпуклая функция от.

Условия первого порядка:

, . (40)

Подставив (38) в (40), получим:

, . (41)

Запишем (41) в матричном виде:

, (42)

где ,.

Из (42) следует, что

. (43)

9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов

Макрохеджирование – это хеджирование собственного капитала фирмы.

Для оценки изменения рыночной стоимости собственного капитала финансовой организации при изменении доходностей к погашению облигаций была получена формула:

, (44)

где – изменение доходностей облигаций (предполагается одинаковым для облигаций разных видов).

Пусть – количество позиций по фьючерсным контрактам. (означает, что позиции – длинные, а– короткие.)

Денежный поток, получаемый финансовой организацией при изменении фьючерсных цен, равен . Следовательно, суммарный эффект:

. (45)

Задача состоит в том, чтобы подобрать такое количество позиций , чтобы.

Будем считать, что фьючерсная цена базового актива приблизительно равна форвардной цене. Для форвардной ценыполучена следующая формула:, где– доходность безрискового актива со сроком погашения.

Следовательно,

. (46)

При «мгновенном» изменении доходности к погашению базового актива и безрисковой доходности, изменение фьючерсной цены приблизительно равно:

. (47)

Предположим, что

. (48)

Тогда (48) можно записать:

. (49)

Продифференцируем (46) по :

. (50)

Подставим в (50):

. (51)

Продифференцируем (46) по :

. (52)

Подставив (51) и (52) в (49), получим:

. (53)

Подставим (53) в (45):

. (54)

Из (54) следует, что , приравном:

. (55)

Пример 3. Номинальная стоимость и купонный период облигаций, входящих в активы и обязательства финансовой организации, равны, соответственно, 100 д.е. и один год. Активы финансовой организации состоят из 400 десятилетних и 600 пятилетних облигаций. Номинальная купонная ставка и эффективная годовая доходность равны, соответственно, 20% и 18% для десятилетних облигаций, и 15% и 14% для пятилетних облигаций. Обязательства финансовой организации состоят из 300 однолетних и 500 трехлетних облигаций. Номинальная купонная ставка и эффективная годовая доходность равны, соответственно, 10% и 11% для однолетних облигаций, и 12% и 13% для трехлетних облигаций. Финансовая организация хеджирует риск с помощью четырехмесячных фьючерсных контрактов на двенадцатилетние десятипроцентные облигации номинальной стоимостью 100 д.е. и с эффективной годовой доходностью 16%. Непрерывно капитализируемая чистая доходность для безрисковых облигаций со сроком погашения 4 месяца равна 8%. Требуется определить оптимальное количество позиций , при котором снижение рыночной стоимости собственного капитала финансовой организации компенсируется денежным потоком, генерируемым фьючерсными контрактами.

Решение. Для примера 3 главы 5 мы получили:

, ,,,лет,лет.

Из условий следует, что года,.

д.е.

д.е.

лет.

-695

Таким образом, нужно заключить фьючерсный контракт на продажу 695 облигаций.

146