- •1. Общее представление об экономико-математическом моделировании
- •1.1. Определение экономико-математической модели
- •1.2. Классификация экономико-математических моделей
- •1.3. Основные этапы экономико-математического моделирования
- •2. Основы финансовой арифметики
- •2.1. Простой процент
- •Наращенная сумма при простом проценте
- •Текущая стоимость при простом проценте
- •Номинальная годовая процентная ставка
- •3. Математически методы анализа последовательностей платежей
- •3.1. Текущая стоимость последовательности платежей
- •3.2. Будущая стоимость последовательности платежей
- •3.3. Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
- •4. Моделирование инвестиционных проектов
- •4.1. Дисконтирование денежных потоков инвестиционного проекта
- •4.2. Модель с постоянным процентным ростом свободных денежных потоков
- •4.3. Задача оптимального финансирования проекта
- •4.4. Задача оптимального выбора инвестиционных проектов
- •4.5. Анализ чувствительности денежных потоков проекта
- •4.6. Анализ безубыточности проекта
- •4.7. Влияние инфляции на денежные потоки проекта
- •4.8. Анализ финансового риска инвестиционного проекта
- •4.9. Имитационное моделирование денежных потоков проекта
- •5. Математические методы анализа платежей облигаций
- •5.1. Платежи облигаций
- •5.2. Доходность к погашению облигации
- •5.3. Текущая стоимость облигации
- •5.4. Продолжительность облигации
- •5.5. Чистые доходности
- •5.6. Использование чистых доходностей для оценки рыночной стоимости купонных облигаций
- •5.7. Синтетические бескупонные облигации
- •5.8. Описание оценки рыночной стоимости облигации в общем случае
- •5.9. Условия существования имитирующего портфеля и однозначности оценки рыночной стоимости облигации
- •5.10. «Чистые» коэффициенты дисконтирования, их нахождение и использование для оценки рыночной стоимости облигации
- •5.11. Нахождение чистых доходностей методом наименьших квадратов
- •5.12. Форвардные доходности
- •6. Моделирование процентного риска
- •6.1. Продолжительность и выпуклость портфеля облигаций
- •6.2. Чувствительность текущей стоимости портфеля облигаций к изменению доходности
- •6.3. Чувствительность собственного капитала финансовой организации к изменению доходности облигаций
- •6.4. Иммунизация будущих платежей от процентного риска
- •7. Моделирование кредитного риска
- •7.1. Использование линейной модели вероятности для оценки кредитного риска
- •8. Теория инвестиционного портфеля
- •8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
- •8.2. Диверсификация риска
- •8.3. Множество инвестиционных возможностей
- •8.4. Оптимизация инвестиционного портфеля
- •8.5. Множество инвестиционных возможностей при наличии безрисковой доходности
- •8.6. Оптимизация инвестиционного портфеля при наличии безрискового актива
- •8.7. Рыночная модель
- •8.8. Разложение общего риска финансового актива на систематическую и собственную составляющие
- •8.9. Модель оценки финансовых активов
- •9. Математические методы анализа финансовых производных
- •9.1. Основные виды финансовых производных
- •9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта
- •9.3. Соотношение между рыночной стоимостью форвардного контракта и форвардной ценой базового актива
- •9.4. Форвардные контракты на покупку валюты
- •9.5. Форвардные контракты на процентные ставки
- •9.6. Фьючерсные контракты
- •9.7. Микрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
- •9.8. Макрохеджирование с помощью фьючерсных контрактов
8. Теория инвестиционного портфеля
8.1. Инвестиционный портфель и его основные характеристики
Инвестиционный портфель – это портфель финансовых активов (акций, облигаций, банковских депозитов и т.д.).
Под доходностью финансового актива (инвестиционного портфеля) в течение некоторого периода временибудем понимать
. (1)
Здесь и– рыночные цены финансового актива, соответственно, в начальныйи конечныймоменты времени,– суммарный платеж, выплачиваемый финансовым активом в течение промежутка времени.
Замечание 1. Если финансовый актив – акция, то – суммарный дивиденд, выплачиваемый акцией в течение промежутка времени. Если финансовый актив – облигация, то– суммарный купонный платеж, выплачиваемый облигацией в течение промежутка времени.
Пример 1. Пусть цена акции в начале квартала была равна 86 д.е., а в конце квартала составила 87 д.е. В течение квартала акция выплатила дивиденд, равный 3 д.е. Требуется найти доходность акции за квартал.
Решение. Итак, д.е.,д.е.,д.е. Найдем доходность акции
Найдем доходность акции по формуле (1).
.
Замечание 2. Из формулы (1) следует, что доходность удовлетворяет следующему уравнению:
. (2)
Следовательно, доходность финансового актива равна внутренней доходности инвестиционного проекта, который состоит в:
покупке финансового актива по цене в момент времени,
получении платежа и продаже актива по ценев момент времени.
Замечание 3. Из формулы (2) следует, что
. (3)
Следовательно, доходность финансового актива равна банковской эффективной процентной ставке, такой, при которой начальный капитал, равныйв момент времениобеспечивает наращенную сумму, равную, в момент времени.
В большинстве случаев в начальный момент времени цена финансового актива(в конечный момент времени) неизвестна. (Часто то же самое можно сказать и о платеже.) Следовательно, в таких случаях, доходность финансового активаза промежуток временинеизвестна в начальный момент времени.
Считается, что и, а, следовательно, и– случайные величины в теоретико-вероятностном смысле.
В теории инвестиционного портфеля основными характеристиками финансового актива (инвестиционного портфеля) являются ожидаемая доходность и стандартное отклонениедоходности финансового актива:
, (4)
. (5)
Дадим обоснование того, что можно использовать в качестве меры финансового риска.
Естественно считать, что финансовый риск описывается вероятностью , где– некоторое положительное число. В случае, когда доходностьподчиняется нормальному закону распределения, легко показать, что вероятностьувеличивается при увеличении. (См. параграф 9 главы 3.) То же самое справедливо и для широкого класса других распределений доходности финансового актива.
Следовательно, чем больше значение , тем больше риска у доходности финансового актива (инвестиционного портфеля).
Замечание 4. На практике, вместо теоретических значений ожидаемой доходности и стандартного отклоненияфинансового актива используют соответствующие выборочные характеристики:
, (6)
. (7)
Здесь – количество наблюдений,,, доходность финансового актива в периоде(в прошлом).
Пример 2. Известны годовые доходности финансового актива за 4 года.
Годы |
1 |
2 |
3 |
4 |
Годовые доходности |
10% |
14% |
9% |
7% |
Требуется найти выборочные ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности финансового актива.
Решение. Итак, ,,,,.
Найдем выборочные ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности финансового актива по формулам (6) и (7).
,
Найдем формулу для определения доходности инвестиционного портфеля с помощью доходностей входящих в него финансовых активов.
Введем следующие обозначения:
–количество видов финансовых активов, входящих в портфель;
–количество финансовых активов i-го вида в портфеле ();
–рыночная цена финансового актива i-го вида в начальный момент времени ;
–рыночная цена финансового актива i-го вида в конечный момент времени ;
–суммарный платеж, выплачиваемый финансовым активом i-го вида в течение промежутка времени .
В соответствии с формулой (1) доходность финансового актива i-го вида определяется следующим образом:
, (8)
и для нее справедлива формула:
. (9)
Очевидно, что рыночная стоимость портфеля в начальный момент времени, рыночная стоимость портфеляв конечный момент времении суммарный платеж, выплачиваемый портфелем в течение промежутка времени, определяются по формулам:
, (10)
, (11)
. (12)
В соответствии с формулой (1) доходность портфеля определяется следующим образом:
. (13)
Из формул (9)-(12) следует, что
. (14)
Подставим правую часть формулы (14) в (13):
. . (15)
Обозначим через долю рыночной стоимости финансовых инструментовi–го вида в рыночной стоимости портфеля в начальный момент времени :
. (16)
Из формул (15) и (16) следует, что
. (17)
Итак, доходность инвестиционного портфеля находится с помощью доходностей входящих в него финансовых активов по формуле (17).
Пример 3. Портфель состоит из 3 акций вида и 2 акций вида. Цены акций в начале месяца были равны 60 и 80 д.е., соответственно. Доходности акций за месяц составили 3% и 4%, соответственно. Требуется найти доходность портфеля за месяц.
Решение. Итак, ,,д.е.,д.е.,,.
Рыночная стоимость портфеля в начале месяца составила:
д.е.
При этом рыночные стоимости акций видов ив портфеле равнялись:
д.е., д.е.
Доли ирыночных стоимостей акций видовив рыночной стоимости портфеля в начале месяца составляли:
, .
Найдем доходность портфеля за месяц по формуле (17).
.
Замечание 5. Из формул (10) и (16) следует, что
. (18)
Замечание 6. Поскольку и,, – известны в начальный момент времени, то, как следует из формулы (16), доли,, также известны в начальный момент времени. Следовательно, доли,, – детерминированные (т.е. не случайные) величины.
Из формулы (17) (и из того, что доли ,, – детерминированы) следует, что для ожидаемой доходности портфеляимеет место формула:
, (19)
где ,, – ожидаемая доходность финансового активаi–го вида.
Итак, ожидаемая доходность инвестиционного портфеля находится с помощью ожидаемых доходностей входящих в него финансовых активов по формуле (19).
Найдем формулу для определения дисперсии (и стандартного отклонения) доходности инвестиционного портфеля с помощью характеристик входящих в него финансовых активов.
Дисперсия доходности инвестиционного портфеля находится по формуле:
. (20)
Из формул (17) и (19) следует, что
. (21)
Подставив (21) в (20), получим:
(22)
Обозначим через ковариацию доходностей финансовых активов видови:
. (23)
Из формул (22) и (23) вытекает, что
. (24)
Из (24) следует, что стандартное отклонение доходности инвестиционного портфеля находится с помощью ковариаций доходностей финансовых активов, входящих в портфель, по формуле:
. (25)
Замечание 7. На практике вместо теоретического значения ковариации доходностей финансовых активов видовииспользуют соответствующую выборочную характеристику:
. (26)
Здесь – количество наблюдений,и,, доходности соответствующих финансовых активов в периоде(в прошлом).
Замечание 8. Поскольку (где черезимы обозначили, соответственно, дисперсию и стандартное отклонение доходности финасового активаi-го вида), формулы (24) и (25) можно записать в следующем виде:
. (27)
. (28)
Замечание 9. Коэффициент корреляции доходностей финансовых активов видов иопределяется по формуле:
. (29)
Следовательно,
. (30)
Подставив формулу (30) в (24) и (25), получим:
, (31)
. (32)