9. Математические методы анализа финансовых производных

9.1. Основные виды финансовых производных

Финансовые производные – это финансовые активы, рыночная стоимость которых базируется на ценах других активов. Наиболее известными финансовыми производными являются форвардные контракты, фьючерсные контракты и опционы.

Форвардный контракт на покупку актива – это обязательство купить актив в заранее оговоренный (будущий) момент времени T по заранее оговоренной цене K (цене поставки).

Обозначим цену актива, лежащего в основе форвардного контракта, (базового актива) в момент времени T через . Очевидно, в конечный момент времениT рыночная стоимость форвардного контракта на покупку актива по ценеK определяется формулой

. (1)

(Инвестор может продать базовый актив в момент времени .)

Форвардный контракт на продажу актива – это обязательство продать актив в момент времени T по цене K. В конечный момент времени T рыночная стоимость форвардного контракта на продажу актива по ценеK определяется формулой

. (2)

Фьючерсные контракты очень похожи на форвардные контракты. Основное различие между форвардными и фьючерсными контрактами состоит в том, что форвардные контракты не генерируют промежуточные денежные потоки, а форвардные контракты – генерируют. Фьючерсные контракты будут рассмотрены нами позже.

Европейский опцион на покупку актива дает право на покупку актива в момент времени T по цене K. Очевидно, опцион на покупку будет реализован только в том случае, если . Следовательно, в конечный момент времениT рыночная стоимость опциона на покупку актива по ценеK определяется формулой

. (3)

Европейский опцион на продажу актива дает право на продажу актива в момент времени T по цене K. Очевидно, опцион на продажу будет реализован только в том случае, если . Следовательно, в конечный момент времениT рыночная стоимость опциона на продажу актива по ценеK определяется формулой

. (4)

Американский опцион на покупку актива дает право (но не обязывает) на покупку актива в любой момент времени по ценеK.

Американский опцион на продажу актива дает право (но не обязывает) на продажу актива в любой момент времени по ценеK.

9.2. Рыночная стоимость форвардного контракта

Предположим, что базовый актив не выплачивает дивиденды и стоимость его хранения равна нулю. Рыночная стоимость форвардного контракта на покупку базового актива в конечный момент времени равна.

Обозначим через рыночную стоимость в начальный момент временифорвардного контракта на покупку актива в конечный момент времени. Методика нахождениясостоит в следующем.

Построим инвестиционную стратегию, имитирующую денежный поток (рыночную стоимость) форвардного контракта в момент времени Т . Такая стратегия состоит в покупке базового актива и продаже (короткой продаже, заимствовании) безрискового актива в начальный момент времени. (Такую инвестиционную стратегию будем называть синтетическим форвардным контрактом.)

	t = 0	t = T
Базовый актив	- S	ST
Безрисковый актив		- K
Суммарный денежный поток		ST - K

Такая стратегия состоит в покупке одной единицы базового актива и продаже (короткой продаже, заимствовании) безрискового актива на денежных единиц в начальный момент времени. (Здесь – непрерывно капитализируемая доходность безрискового актива со сроком погашения .) Поскольку денежный поток, генерируемый имитирующей стратегией в конечный момент времени, такой же как и денежный поток, генерируемый форвардным контрактом, рыночная стоимость форвардного контракта в начальный момент времени равна денежному потоку (взятому с обратным знаком) имитирующей стратегии в начальный момент времени:

. (5)

Пример 1. Рассмотрим шестимесячный форвардный контракт на покупку акции, не выплачивающую дивиденды в течение этого периода. Пусть цена акции равна 25 д.е. в начальный момент времени, цена форвардного контракта равна 24 д.е., и безрисковая процентная ставка равна 10 % в год. Определить цену форвардного контракта и построить имитирующую стратегию (синтетический форвардный контракт).

Решение.

Имитирующая стратегия (синтетический форвардный контракт) состоит в покупке одной акции и заимствования безрискового актива на 22,83 д.е.

В случае, когда цена форвардного контракта не совпадает с рыночной стоимостью, определяемой по формуле (5), на рынке есть возможности получения арбитражной прибыли. Покажем как это можно сделать.

Обозначим через цену форвардного контракта в начальный момент времени.

Предположим, что . Тогда арбитражная стратегия состоит в продаже форвардного контракта и покупке синтетического форвардного контракта.

	t = 0	t = T
Форвардный контракт
Базовый актив	- S	ST
Безрисковый актив		- K
Суммарный денежный поток		0

Предположим, что . Тогда арбитражная стратегия состоит в покупке форвардного контракта и продаже синтетического форвардного контракта.

	t = 0	t = T
Форвардный контракт
Базовый актив
Безрисковый актив		K
Суммарный денежный поток		0

Форвардная цена базового актива – это такая цена поставки K, при которой рыночная стоимость контракта в начальный момент времени равна нулю. Поскольку , форвардная цена базового актива определяется из уравненияи равна. Форвардная цена базового актива обозначается символомF. Таким образом,

. (6)

Определим форвардную цену акции из примера 1:

Случай с промежуточным платежом

Предположим, что базовый актив выплачивает промежуточный платеж D в момент конечный момент времени , где. (В случае, когда– это цена базового актива до выплаты промежуточного платежа; в случае, когдаS_T – цена базового актива после выплаты промежуточного платежа.)

Построим имитирующую инвестиционную стратегию.

	t = 0		t = T
Базовый актив	- S	D	ST
Безрисковый актив
Безрисковый актив			- K
Суммарный денежный поток		0	ST - K

Такая стратегия состоит в покупке одной единицы базового актива, продаже (короткой продаже, заимствовании) безрискового актива со сроком погашения наденежных единиц и продаже безрискового актива со сроком погашениянаденежных единиц в начальный момент времени. (Здесь – доходность безрискового актива со сроком погашения .)

Поскольку денежный поток, генерируемый имитирующей стратегией в конечный момент времени, такой же как и денежный поток, генерируемый форвардным контрактом, рыночная стоимость форвардного контракта в начальный момент времени равна денежному потоку (взятому с обратным знаком) имитирующей стратегии в начальный момент времени:

. (7)

Из формулы (7) следует, что форвардная цена базового актива равна

(8)

Случай со стоимостью хранения

Пусть стоимость хранения базового актива в течение периода времени равнаденежных единиц, причем плата за хранение происходит в момент времени. Поскольку плату за хранение можно рассматривать как промежуточный платеж, для определения рыночной стоимости форвардного контракта и форвардной цены базового актива можно использовать формулы (7) и (8) (при):

, (9)

(10)